Ecuación de Clairaut

Enunciado
Se llama ecuación de Clairaut a toda ecuación de la forma $y=y’x+f\left(y’\right).$ Denotando $p=y’$ la ecuación de queda en la forma $$y=px+f(p).\qquad (*)$$ 1.  Demostrar que una solución general de la ecuación de Clairaut es $y=Cx+f(C).$

2.  Demostrar que $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=-f’(p)\\& y=-pf’(p) +f(p)\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ son las ecuaciones paramétricas de una solución singular de la ecuación de Clairaut, y que es además la única solución singular.

3.  Resolver la ecuación $y=y’x+\dfrac{a}{y’}.$

Solución
1.  Efectivamente, derivando $y=Cx+f(C)$ obtenemos $p=C.$ Al sustituir en $(*),$ el primer miembro es $Cx+f(C),$ y el segundo $px+f(p)=Cx+f(C),$ por tanto obtenemos una identidad.

2.  Sustituyendo en el primer miembro de $(*)$ obtenemos de $-pf’(p) +f(p),$ y sustituyendo en el segundo, $y’x+f\left(y’\right)$ $=$ $-pf’(p)+f(p),$ es decir obtenemos una identidad. La solución es singular pues la ecuación de Clairaut la podemos expresar en la forma $F(x,y,p)=y-px-f(p),$ y se verifica $$\frac{\partial F}{\partial p}=-x-f’(p)=0.$$ Por otra parte, la condición $\dfrac{\partial F}{\partial p}=0$ es necesaria para la singularidad de una solución, de ahí la unicidad.

3.  La ecuación es de Clairaut con  $f(p)=a/p.$ La solución general es por tanto $y=Cx+f(C),$ es decir la familia de rectas $y=Cx+a/C.$ La solución singular es $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=-f’(p)\\& y=-pf’(p) +f(p)\end{aligned}\end{matrix}\right. \text{ es decir, }\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=\frac{a}{p^2}\\& y=\frac{2a}{p}\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ y eliminando  $p$ obtenemos la parábola $y^2=4ax.$

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