Funciones cumpliendo $f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$

Enunciado
Sea  $E$ el conjunto de las funciones  $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ verificando que existe una constante  $k_f\le 0$ tal que $$f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|\quad \forall x,y\in\mathbb{R}.$$ (a) Demostrar que si  $f\in E,$  $f$ es periódica de periodo $2\pi,$ continua y acotada.
(b)  Sea  $f\in E$ tal que $f$  es derivable en $\mathbb{R}.$ Estudiar si  $f^{\prime}\in E.$
(c)  Demostrar que para todo $f\in E$ se verifica  $f^{\prime}(\pi/2)=0.$
(d)  Estudiar si puede pertenecer $E$ una función  $h$ verificando $h(t)=t$ para todo $t\in [0,\pi/2].$

Solución
(a)  Tenemos las siguientes implicaciones para todo $x,y\in\mathbb{R}$ $$f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|\Rightarrow f(y)-f(x)\le k_f\left|\operatorname{sen}y-\operatorname{sen}x\right|$$ $$= k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & -k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|\le f(x)-f(y)\\&f(x)-f(y)\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right| \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow 0\le \left|f(x)-f(y)\right|\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|.\qquad (1) $$ Sea $y\in\mathbb{R}$ y llamemos $x=y+2\pi.$ De la relación $(1),$ obtenemos $$0\le \left|f(y+2\pi)-f(y)\right|\le k_f\left|\operatorname{sen}(y+2\pi)-\operatorname{sen}y\right|=0.$$ Es decir,  $f(y+2\pi)-f(y)=0$ para todo $y\in\mathbb{R}$ luego  $f$ es periódica de periodo $2\pi.$

Tomando $x=y+h,$ $$0\le \left|f(y+h)-f(y)\right|\le k_f\left|\operatorname{sen}(y+h)-\operatorname{sen}y\right|.$$ El tercer miembro tiende a $0$ cuando $h\to 0,$ por tanto  $\left|f(y+h)-f(y)\right|\to 0$ es decir, $\lim_{h\to 0}f(y+h)=f(y),$ lo cual implica que  $f$ es continua para todo $y\in\mathbb{R}.$ Veamos que  $f$ está acotada. En efecto, tomando  $y=0,$ $$\left|f(x)\right|-\left|f(0)\right|\le \left|f(x)-f(0)\right|\le k_f\left|\operatorname{sen}x\right|\le k_f.$$ Es decir  $\left|f(x)\right|\le \left|f(0)\right|+k_f$ para todo $x\in\mathbb{R},$ luego  $f$ está acotada en $\mathbb{R}.$

(b)  Consideremos la función  $f(x)=\operatorname{sen}x.$ Esta función es derivable en $\mathbb{R}.$ Por otra parte, $\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\le \left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$ lo cual implica que  $f\in E.$ Veamos que la función  $f^{\prime}(x)=\cos x$ no pertenece a $E.$ En efecto, haciendo $y=\pi -x,$ $$\begin{aligned}& \cos x-\cos y=\cos x-\cos (\pi -x)=2\cos x,\\
&\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|=\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}(\pi-x)\right|=0.\end{aligned}$$ No existe por tanto constante  $k_{f^{\prime}}$ cumpliendo $\cos x-\cos y\le k_{f^{\prime}}\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\right|$ para todo $x,y\in\mathbb{R},$ luego $f^{\prime}\notin E.$

(c) Haciendo $y=\pi/2,$ tenemos las implicaciones $$0\le\left|f(x)-f(\pi/2)\right|\le k_f\left|\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}(\pi/2)\right|$$ $$\underbrace{\Rightarrow}_{\text{si }\ne \pi/2}0\le \left|\frac{f(x)-f(\pi/2)}{x-\pi/2}\right|\le k_f\left|\frac{\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}(\pi/2)}{x-\pi/2}\right|$$ $$=k_f\left|2\cos\frac{x+\pi/2}{2}\cdot \operatorname{sen}\frac{x-\pi/2}{2}\cdot \left(\frac{1}{x-\pi/2}\right)\right|.$$
Se verifica $$\lim_{x\to \pi/2}\cos\frac{x+\pi/2}{2} \cos (\pi/2)=0,\quad \lim_{x\to \pi/2}\operatorname{sen}\frac{x-\pi/2}{2}\cdot \left(\frac{1}{x-\pi/2}\right)$$ $$=\lim_{x\to \pi/2}\frac{x-\pi/2}{2}\cdot\frac{1}{x-\pi/2}=\frac{1}{2}.$$ En consecuencia $$\left|\frac{f(x)-f(\pi/2)}{x-\pi/2}\right|\to 0\text{ si }x\to \pi/2,$$ y por tanto $$f^{\prime}(\pi/2)=\lim_{x\to\pi/2}\frac{f(x)-f(\pi/2)}{x-\pi/2=0}.$$ (d)  La derivada por la izquierda de $h$ en $\pi/2$ es $$h^{\prime}(\pi/2-)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(\pi/2+h)-f(\pi/2)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{\pi/2+h-\pi/2}{h}=\lim_{h\to 0^-}1=1.$$ La función  $h$ no puede pertenecer a $E$ pues según el apartado anterior, se debería verificar $h^{\prime}(\pi/2-)=0.$

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