Distancia $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$ en los reales

Enunciado
Sea  $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función estrictamente creciente.
(a)  Demostrar que $d(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|$ es una distancia en $\mathbb{R}.$
(b)  Demostrar que si  $f$ no es continua, la distancia  $d$ no es equivalente a la distancia usual  $d_u(x,y)=\left|x-y\right|.$
(c)  Demostrar que si  $f$ es continua, la distancia  $d$ es equivalente a la distancia usual  $d_u.$
(d)  Demostrar que si  $f$ es lineal, $d$ puede definirse mediante una norma.

Solución
(a)  Se cumplen los axiomas de distancia. En efecto,
(i)  $d(x,y)=0\Leftrightarrow \left|f(x)-f(y)\right|=0\Leftrightarrow f(x)-f(y)=0\Leftrightarrow f(x)=f(y).$ Como $f$ es estrictamente creciente, es inyectiva, luego $x=y.$
(ii) $d(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|=\left|f(y)-f(x)\right|=d(y,x).$
(iii)  $d(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|=\left|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)\right|$ $$\le \left|f(x)-f(z)\right|+\left|f(z)-f(y)\right|=d(x,y)+d(y,z).$$ (b)  Si  $f$ no es continua en algún punto  $x_0,$ entonces existe un $\epsilon >0$ tal que para todo $\delta >0$ existe al menos un $y\in\mathbb{R}$ tal que $\left|x_0-y\right|<\delta$ y $\left|f(x_0)-f(y)\right|\ge\epsilon.$ Consideremos la bola con la distancia $d$ $$B_d(x_0,\epsilon)=\left\{y\in\mathbb{R}:d(x_0,y)=\left|f(x_0)-f(y)\right|<\epsilon\right\}.$$ Entonces, toda bola $$B_{d_u}(x_0,\delta)=\left\{y\in\mathbb{R}:d(x_0,y)=\left|x_0-y\right|<\delta\right\}$$ con la distancia usual no está contenida en $B_d(x_0,\epsilon),$ lo cual implica que $d$ y $d_u$ no son equivalentes de acuerdo con un conocido teorema de caracterización.

(c)  Consideremos cualquier bola $B_d(x,\epsilon)=\left\{y\in\mathbb{R}:d(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon\right\}.$ Veamos que existe $B_{d_u}(x,\delta)$ tal que $B_{d_u}(x,\delta)\subset B_d(x,\epsilon).$ En efecto, como  $f$ es continua en $x,$ dado $\epsilon >0$ existe $\delta>0$ tal que para todo $y$ que satisface $\left|x-y\right|<\delta$ se verifica $\left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon.$ Esto prueba que  $B_{d_u}(x,\delta)\subset B_d(x,\epsilon).$

Recíprocamente, veamos que dada cualquier bola $B_{d_u}(x,\epsilon)$ existe una bola $B_d(x,\delta)$ tal que $B_d(x,\delta)\subset B_{d_u}(x,\epsilon).$ En efecto, al ser  $f$ estrictamente creciente y continua, existe y es continua la función $f^{-1}:\;f(\mathbb{R})\to\mathbb{R}.$ Por tanto, dado $\epsilon >0$ existe $\delta>0$ tal que $$\left|f(x)-f(y)\right|<\delta \Rightarrow \left|f^{-1}\left(f(x)\right)-f^{-1}\left(f(y)\right)\right|=\left|x-y\right|<\epsilon,$$ es derir, $d(x,y)<\delta \Rightarrow d_u(x,y)<\epsilon$ lo cual prueba que $B_d(x,\delta)\subset B_{d_u}(x,\epsilon).$ De acuerdo con un conocido teorema de caracterización, concluimos que $d$ y $d_u$ son equivalentes.

(d)  Veamos que la aplicación $$\left\|{\;}\right\|:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad \left\|{x}\right\|=\left|f(x)\right|,$$ es una norma. En efecto,
(i)  $ \left\|{x}\right\|=0\Leftrightarrow \left|f(x)\right|=0\Leftrightarrow f(x)=0.$ Por ser  $f$ lineal y estrictamente creciente,  $f(x)=0\Leftrightarrow x=0.$
(ii)  $\left\|{\lambda x}\right\|=\left|f(\lambda x)\right|=\left|\lambda f(x)\right|=\left|\lambda \right|\left| f(x)\right|=\left|\lambda \right|\left\|{x}\right\|.$
(iii)  $\left\|{x+y}\right\|=\left|f( x+y)\right|=\left|f(x)+f(y)\right|\le \left|f(x)\right|+\left|f(y)\right|=\left\|{x}\right\|+\left\|{y}\right\|.$

(d)  Veamos que la aplicación $$\left\|{\;}\right\|:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad \left\|{x}\right\|=\left|f(x)\right|,$$ es una norma. En efecto,
(i)  $ \left\|{x}\right\|=0\Leftrightarrow \left|f(x)\right|=0\Leftrightarrow f(x)=0.$ Por ser  $f$ lineal y estrictamente creciente,  $f(x)=0\Leftrightarrow x=0.$
(ii)  $\left\|{\lambda x}\right\|=\left|f(\lambda x)\right|=\left|\lambda f(x)\right|=\left|\lambda \right|\left| f(x)\right|=\left|\lambda \right|\left\|{x}\right\|.$
(iii)  $\left\|{x+y}\right\|=\left|f( x+y)\right|=\left|f(x)+f(y)\right|\le \left|f(x)\right|+\left|f(y)\right|=\left\|{x}\right\|+\left\|{y}\right\|.$

La distancia inducida por esta norma es $$d(x,y)=\left\|{x-y}\right\|=\left|f( x-y)\right|=\left|f(x)-f(y)\right|,$$ que es la distancia dada.

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