Desarrollo de Taylor de orden $n$ de $f(x,y)=\log (x+y)$

Enunciado
Desarrollar la función  $f(x,y)=\log (x+y)$ por la fórmula de Taylor de orden $n$ en un entorno de $(1,1).$

Solución
Hallemos las primeras derivadas parciales de  $f:$ $$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{x+y},$$ $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-\frac{1}{(x+y)^2}.$$ Demostremos por inducción que en general se verifica  $$\frac{\partial ^n f}{\partial x^{\alpha}\partial y^{\beta}}=(-1)^{n+1}(n-1)!(x+y)^{-n},\quad (\alpha +\beta =n).$$ La fórmula es claramente cierta para $n=1.$ Supongamos que es cierta para $n-1$ y veamos que también es cierta para $n.$ En efecto, $$\frac{\partial ^n f}{\partial x^{\alpha}\partial y^{\beta}}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial ^{n-1} f}{\partial x^{\alpha-1}\partial y^{\beta}}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left((-1)^{n}(n-2)!(x+y)^{-n+1}\right)$$ $$=(-1)^{n}(n-2)!\cdot (-n+1)(x+y)^{-n}=(-1)^{n+1}(n-1)!(x+y)^{-n}.$$ $$\frac{\partial ^n f}{\partial x^{\alpha}\partial y^{\beta}}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial ^{n-1} f}{\partial x^{\alpha}\partial y^{\beta-1}}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left((-1)^{n}(n-2)!(x+y)^{-n+1}\right)$$ $$=(-1)^{n}(n-2)!\cdot (-n+1)(x+y)^{-n}=(-1)^{n+1}(n-1)!(x+y)^{-n}.$$ Nota. Estamos usando el que $f$ es de clase infinito en un entorno de $(1,1)$ es consecuencia, las parciales sucesivas no dependen del orden de derivación.

Se verifica  $f(1,1)=\log 2.$ Por otra parte $$\left((x-1)\frac{\partial }{\partial x}+(y-1)\frac{\partial }{\partial y}\right)^1f(1,1)=(x-1)\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)+(y-1)\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)$$ $$=\frac{1}{2}\left[(x-1)+(y-1)\right].$$ $$\left((x-1)\frac{\partial }{\partial x}+(y-1)\frac{\partial }{\partial y}\right)^2f(1,1)=(x-1)^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,1)$$ $$+2(x-1)(y-1)\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)+(y-1)^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(1,1)$$ $$=-\frac{1}{2^2}\left[(x-1)+(y-1)\right]^2.$$ En general, $$\left((x-1)\frac{\partial }{\partial x}+(y-1)\frac{\partial }{\partial y}\right)^nf(1,1)=(-1)^{n+1}(n-1)!\frac{1}{2^n}\left[(x-1)+(y-1)\right]^n.$$ El desarrollo pedido es por tanto $$\log (x+y)=\log 2+\frac{1}{2}\left[(x-1)+(y-1)\right]-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^2}\left[(x-1)+(y-1)\right]^2$$ $$+\cdots +(-1)^{n+1}\cdot\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{2^n}\left[(x-1)+(y-1)\right]^n$$ $$+(-1)^{n+2}\cdot\frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{(\xi+\eta)^{n+1}}\left[(x-1)+(y-1)\right]^{n+1},$$ con $(\xi,\eta)$ en el segmento que une los puntos $(1,1)$ y $(x,y).$

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