Matrices cuadradas invertibles con coeficientes enteros

Enunciado
Sea  $\sum_n=\mathbb{Z}^{n\times n}$ el conjunto de las matrices cuadradas de orden $n$ con coeficientes en  $\mathbb{Z}.$ Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que una matrix $M\in \sum_n$ admita una inversa en  $\sum_n$ es que $\det M=\pm 1.$

Solución
Si $M$ es inversible en $\sum_n$ entonces $$\left(\det M\right)\left(\det M^{-1}\right)=\det\left(MM^{-1}\right)=\det I=1$$ y dado que $\det M$ y $\det M^{-1}$ son enteros, ha de ser necesariamente $\det M=\pm 1.$

Recíprocamente, si $M\in \sum_n$ y $\det M=\pm 1,$ entonces $M$ tiene inversa en  $\mathbb{R}^{n\times n}$ (pues su determinante es no nulo). Cada elemento de $M^{-1}$ es cociente de un adjunto de $M$  (que es entero) entre $\pm1,$ y por tanto es entero. Es decir, $M^{-1}\in\sum_n.$