Polinomio de $\mathbb{Z}[x]$ con raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}$

Enunciado
(a)  Encontrar un polinomio $p(x)$ de tercer grado de $\mathbb{Z}[x]$ admitiendo como raíz $\alpha=2+\sqrt[3]{3}.$
(b)  Descomponer  $p(x)$ en producto de factores irreducibles en $\mathbb{R}[x].$

Solución
(a)  Sea $p(x)=c_3x^3+c_{2}x^{2}+c_1x+c_0\in\mathbb{Z}[x]$ con $c_3\ne 0.$ Si tiene como raíz a $\alpha,$ $$c_3{\alpha}^3+c_{2}{\alpha}^{2}+c_1{\alpha}+c_0=0,$$ $$\alpha^3=-\frac{c_{2}}{c_3}\alpha^{2}-\frac{c_1}{c_3}\alpha-\frac{c_0}{c_3}=b_{2}\alpha^{2}+b_1\alpha+b_0,\quad (b_k\in\mathbb{Q}).$$ Es decir, necesariamente $\alpha^3$ ha de ser combinación lineal racional de $\alpha^{2},\alpha,1.$ Tenemos $$\alpha^2=\left(2+\sqrt[3]{3}\right)^2=4+4\cdot 3^{1/3}+3^{2/3},$$ $$\alpha^3=\left(2+\sqrt[3]{3}\right)^3=11+12\cdot3^{1/3}+6\cdot3^{2/3}.$$ La igualdad $\alpha^3=b_{2}\alpha^{2}+b_1\alpha+b_0$ equivale a $$11+12\cdot3^{1/3}+6\cdot3^{2/3}=b_2\left(4+4\cdot 3^{1/3}+3^{2/3}\right)$$ $$+b_1\left (2+3^{1/3}\right)+b_0.$$ La igualdad anterior se verifica si $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & b_2=6\\& b_1+4b_2=12\\
& b_0+2b_1+4b_2=11. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema anterior obtenemos $b_2=6,$ $b_1=-12,$ $b_0=11.$ Obtenemos el polinomio $$p(x)=x^3-6x^2+12x-11.$$ (b)  Aplicando la regla de Ruffini, $$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & -6 & 12 & -11 \\
2+3^{1/3} & & 2+3^{1/3} & -8-2\cdot3^{1/3}+3^{2/3} & 11 \\
\hline & 1 & -4+3^{1/3} & 4-2\cdot3^{1/3}+3^{2/3} & 0 \end{array}$$ El polinomio $p(x)$ lo podemos por tanto expresar en la forma $$p(x)=\left(x-\alpha\right)q(x),\text{ con } q(x)=x^2+\left(-4+3^{1/3}\right)x+4-2\cdot3^{1/3}+3^{2/3}.$$ El discriminante de $q(x)$ es $$D=\left(-4+3^{1/3}\right)^2-4\left(4-2\cdot3^{1/3}+3^{2/3}\right)=-3\cdot3^{2/3}<0,$$ luego $q(x)$ es irreducible en $\mathbb{R}[x]$ y la descomposición pedida es $p(x)=\left(x-\alpha\right)q(x).$

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