Cálculo de $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$

Enunciado
Evaluar justificadamente $$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$$
Solución
Hallemos el límite de cada uno de los factores que aparecen. El límite del primer factor es $$\lim_{x\to +\infty}e^{x^2}=e^{+\infty}=+\infty.$$ Hallemos el límite del segundo factor. Tenemos $$x>x-\frac{\log x}{2x}\Leftrightarrow \frac{\log x}{2x}>0,$$ y esto último ocurre para $x>1.$ Dado que $0<e^{-t^2}$ para todo $t$ real, $$0\le\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt.$$ Dado que $e^{-t^2}\le 1$ para todo $t$ real, $$\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt\le\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^x 1\;dt=x-\left(x-\frac{\log x}{2x}\right)=\frac{\log x}{2x}.$$ En consecuencia $$0\le\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt\le \frac{\log x}{2x}.$$ Usando la regla de L’Hopital obtenemos $\lim_{x\to +\infty}\frac{\log x}{2x}=0$ y por tanto $$\lim_{x\to +\infty}\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt=0.$$ Llamando $L$ al límite pedido, usando la regla de L’Hopital y usando el teorema fundamental del Cálculo $$L=\lim_{x\to +\infty}\frac{\displaystyle\int_{x-\frac{\log x}{2x}}^xe^{-t^2}dt}{e^{-x^2}}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{-x^2}-e^{\left(x-\frac{\log x}{2x}\right)^2}\left(x-\frac{\log x}{2x}\right)’}{-2xe^{-x^2}}$$ $$=\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{-x^2}\left(1-e^{\frac{\log x}{x}-\frac{\log^2x}{4x^2}}\right)\left(1-\frac{(1/x)2x-2\log x}{4x^2}\right)}{-2xe^{-x^2}}$$ $$=\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(1-e^{\frac{\log x}{x}-\frac{\log^2x}{4x^2}}\right)\left(1-\frac{1-\log x}{2x^2}\right)}{-2x}.$$ Hallemos límites de expresiones que aparecen en el límite anterior: Hallemos límtes de expresiones que aparecen en el límite anterior: $$\lim_{x\to +\infty}\frac{\log x}{x}=\left\{\frac{+\infty}{+\infty}\right\}\underbrace{=}_{\text{L’Hopital}}\lim_{x\to +\infty}\frac{1/x}{1}=0,$$ $$\lim_{x\to +\infty}\frac{\log^2x}{4x^2}=\frac{1}{4}\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{\log x}{x}\right)^2=\frac{1}{4}\cdot 0^2=0,$$ $$\lim_{x\to +\infty}\frac{1-\log x}{2x^2}=\frac{1}{2}\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{\log x}{x^2}\right)=0.$$ El límite pedido es por tanto $$L=\frac{(1-e^0)\left(1-0\right)}{-\infty}=\frac{0}{-\infty}=0.$$

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