Integral $\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$ por residuos

Enunciado

Calcular $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx$.

Sugerencia: considerar $\displaystyle\int_{\gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+1}dz$ siendo $\gamma$ la curva $ABCA$ de la figura

Solución
Sea $\Gamma$ la curva $ABC,$ es decir la semicircunferencia superior. Tenemos
$$\int_{-R}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx+\int_{\Gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+1}dz=\int_{\gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+i}dz.\quad (1)$$ Podemos expresar
$$\int_{-R}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx=\int_{-R}^{0}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx+\int_{0}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx$$ $$\underbrace{=}_{t=-x}\int_{R}^{0}\frac{\log (-t+i)}{t^2+1}(-dt)+\int_{0}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx$$ $$=\int_{0}^{R}\frac{\log (-x+i)}{x^2+1}dx+\int_{0}^{R}\frac{\log (x+i)}{x^2+1}dx=\int_{0}^{R}\frac{\log (i-x)+\log (i+x)}{x^2+1}dx.$$ Simplifiquemos el numerador, $$\log (i-x)+\log (i+x)=\log (i-x)(i+x)$$ $$=\log (-1-x^2)=\log (-1)(x^2+1)$$ $$=\log(-1)+\log (x^2+1)=\pi i+\log (x^2+1).$$ La expresión $(1)$ equivale por tanto a $$\pi i\int_{0}^R\frac{dx}{x^2+1}+\int_{0}^{R}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx+\int_{\Gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+1}dz$$ $$=\int_{\gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+i}dz.\quad (2)$$ Hallemos los límites cuando $R\to +\infty$ de los sumandos que aparecen en $(2).$

(i)  Límite de la primera integral. $$\lim_{R\to +\infty}\pi i\int_{0}^R\frac{dx}{x^2+1}=\pi i \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}=\pi i\;[\arctan x]_0^{+\infty}$$ $$=\pi i \;[\arctan (+\infty) -\arctan 0]=\pi i\cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi^2}{2}i.$$ (ii)  Límite de la segunda integral. $$\lim_{R\to +\infty}\int_{0}^{R}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx=\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx=I.$$ (iii)  Límite de la tercera integral. Acotemos el módulo de la función integrando en $\Gamma:$ $$\left|\frac{\log (z+i)}{z^2+1}\right|\le\frac{\left|\log (z+i)\right|}{\left|z\right|^2}\le \frac{\log\left|z+i\right|}{\left|z\right|^2}$$ $$\le \frac{\log\left(\left|z\right|+\left|i\right|\right)}{\left|z\right|^2}\underbrace{\le}_{\text{si }\left|z\right|\text{ suf. grande}}\frac{\log 2\left|z\right| }{\left|z\right|^2}=\frac{\log 2R }{R^2}.$$ La longitud de $\Gamma$ es $\pi R,$ por tanto $$0\le \left|\int_{\Gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+1}dz\right|\le \frac{\log 2R}{R^2}\cdot \pi R=\frac{\pi\log 2R}{R}\to 0\text{ si }R\to +\infty.$$ En consecuencia, $$\lim_{R\to +\infty}\int_{\Gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+1}dz=0.$$ (iv)  Límite de la cuarta integral. El único polo de $f(z)=\dfrac{\log (z+i)}{z^2+1}$ en el semiplano superior para $R>1$ es $z=i,$ y su residuo es $$\text{Res }[f,i]=\lim_{z\to i}\frac{\log (z+i)}{z^2+1}(z-i)=\lim_{z\to i}\frac{\log (z+i)}{z+i}$$ $$=\frac{\log (2i)}{2i}=\frac{\log 2+(\pi/2)i}{2i}.$$ Por tanto $$\int_{\gamma}\frac{\log (z+i)}{z^2+i}dz=2\pi i\left(\frac{\log 2+(\pi/2)i}{2i}\right)=\pi \log 2+\frac{\pi^2}{2}i.$$ De los límites tomados en $(2)$ deducimos $$\frac{\pi^2}{2}i+I+0=\pi \log 2+\frac{\pi^2}{2}i,$$ luego la integral pedida es $$I=\int_{0}^{+\infty}\frac{\log (x^2+1)}{x^2+1}dx=\pi \log 2.$$

Esta entrada fue publicada en Variable compleja. Guarda el enlace permanente.