Inversa de $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ e interpretación geométrica

Enunciado
Se considera la matriz $$A=\begin{bmatrix}{1}&{\;\;2}&{\;\;2}\\{2}&{-2}&{\;\;1}\\{2}&{\;\;1}&{-2}\end{bmatrix}\in\mathbb{R^{3\times 3}}.$$ (a)  Hallar $A^2$ y  $A^{-1}.$
(b)  Interpretar geométricamente el resultado.

Solución
(a)  Operando obtenemos  $A^2=9I,$ y de $A\left(\dfrac{1}{9}A\right)=I$ deducimos que $A^{-1}=\dfrac{1}{9}A.$

(b)  Llamando $B=\dfrac{1}{3}A,$ obtenemos $B^2=I,$ es decir $B^{-1}=B.$ Por otra parte $B$ es simétrica, con lo cual $B^t=B^{-1}$ y por tanto es ortogonal. Hallando los valores propios de $B,$ obtenemos $\lambda_1=1$ (simple) y $\lambda_2=-1$ (doble) lo cual implica que $B$ representa una simetria axial en $\mathbb{R}^3.$

Concluimos que $A=3B$ representa la composición de una simetría axial con una homotecia de razón $3.$

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