$L=\lim_{x \to{}0}{\frac{x^2 e^x}{5x-5e^x+5}}$ sin usar la regla de L’Hôpital

Enunciado
Si usar la regla de L’Hôpital, calcular el límite $$L=\lim_{x \to{}0}{\frac{x^2 e^x}{5x-5e^x+5}}$$

Solución
Podemos expresar $$L=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{e^x}{5}\dfrac{x^2}{1+x-e^x}=\frac{1}{5}\underbrace{\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2}{1+x-e^x}}_{A}$$ y por tanto, basta hallar $A.$ Sea $x>0$ y consideremos la función $$F:[0,x]\to\mathbb{R},\;F(t)=t^2-\dfrac{x^2}{1+x-e^x}(1+t-e^t).$$ Es inmediato verificar las hipótesis del teorema de Rolle para $F$ en $[0,x]$ obteniendo un $\xi\in (0,x)$ tal que $$\dfrac{x^2}{1+x-e^x}=\dfrac{2\xi}{1-e^{\xi}}.$$ Usando que $e^{\xi}-1\sim \xi$ cuando $\xi\to 0,$ $$\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\dfrac{e^x}{5}\dfrac{x^2}{1+x-e^x}=\frac{1}{5}\displaystyle\lim_{\xi \to 0^+}\dfrac{2\xi}{-\xi}=-\frac{2}{5}.$$ Usando la misma función $F$ en el intervalo $[x.0]$ con $x<0$ obtenemos $$\displaystyle\lim_{x \to 0^-}\dfrac{e^x}{5}\dfrac{x^2}{1+x-e^x}-\frac{2}{5},$$ con lo cual $L=-2/5.$

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