Diagonalización de $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ con funciones hiperbólicas

Enunciado
Estudiar para qué valores de $x\in\mathbb{R}$ la siguiente matriz es diagonalizable en $\mathbb{R}$ $$A=\begin{bmatrix}\cosh x&\sinh x \\\sinh x&\cosh x\end{bmatrix}.$$ En cada caso, hallar la forma canónica de $A.$

Solución
Polinomio característico de $A$ $$\chi(\lambda)=\lambda^2-(\text{traza }A)\lambda +\det A=\lambda^2-(2\cosh x)\lambda+\cosh^2x-\sinh^2x$$ $$=\lambda^2-\left(e^x+e^{-x}\right)\lambda +1.$$ Valores propios de $A$ $$\lambda^2-\left(e^x+e^{-x}\right)\lambda +1=0\Leftrightarrow \lambda=\frac{e^x+e^{-x}\pm\sqrt{\left(e^x+e^{-x}\right)^2-4}}{2}$$ $$=\frac{e^x+e^{-x}\pm\sqrt{e^{2x}+e^{-2x}-2}}{2}=\frac{e^x+e^{-x}\pm\sqrt{\left(e^x-e^{-x}\right)^2}}{2}$$ $$=\frac{e^x+e^{-x}\pm \left(e^x-e^{-x}\right)}{2}=\{e^x,e^{-x}\}.$$ Entonces,  $e^x=e^{-x}\Leftrightarrow e^{2x}=1\Leftrightarrow 2x=0\Leftrightarrow x=0.$ Para $x=0$ obtenemos la matriz $A=I,$ que es diagonal. Si  $x\ne 0,$ tenemos $e^x\ne e^{-x}$ y $A$ es diagonalizable en $\mathbb{R}$ al tener dos valores propios reales simples. Concluimos que $A$ es diagonalizable para todo $x\in\mathbb{R}$ siendo su matriz diagonal; $$D=\begin{bmatrix}e^x&0 \\0&e^{-x}\end{bmatrix}.$$