Integral triple $\iiint_Tx^my^nz^p(1-x-y-z)^qdxdydz$

Enunciado
Calcular la integral triple $$I=\iiint_Tx^my^nz^p(1-x-y-z)^qdxdydz$$ siendo $T$ el recinto limitado por los tres planos coordenados y el plano $x+y+z=1,$ y $m,$ $n,$ $p,$ $q$ enteros positivos.

Solución
Podemos expresar $I$ como las integrales reiteradas $$I=\int_0^1x^mdx\int_0^{1-x}y^ndy\int_0^{1-x-y}z^p(1-x-y-z)^qdz.$$ Denotando $a=1-x-y,$ la tercera integral iterada es $$\int_0^{1-x-y}z^p(1-x-y-z)^qdz=\int_0^az^p(a-z)^qdz=a^q\int_0^az^p\left(1-\frac{z}{a}\right)^qdz$$ $$=a^{p+q+1}\int_0^a\left(\frac{z}{a}\right)^p\left(1-\frac{z}{a}\right)^qd\left(\frac{z}{a}\right)\underbrace{=}_{t=z/a}a^{p+q+1}\int_0^1t^p(1-z)^qdz$$ $$=a^{p+q+1}B(p+1,q+1)=a^{p+q+1}\frac{\Gamma (p+1)\Gamma (q+1)}{\Gamma (p+q+2)}=a^{p+q+1}\frac{p!q!}{(p+q+1)!}.$$ Entonces, $$I=\frac{p!q!}{(p+q+1)!}\int_0^1x^mdx\int_0^{1-x}y^n(1-x-y)^{p+q+1}dy.$$ Llamando $b=1-x$ tenemos $$\int_0^{1-x}y^n(1-x-y)^{p+q+1}dy=\int_0^{b}y^n(b-y)^{p+q+1}dy$$ $$=b^{p+q+1}\int_0^{b}y^n\left(1-\frac{y}{b}\right)^{p+q+1}dy=b^{n+p+q+2}\int_0^{b}\left(\frac{y}{b}\right)^{n}\left(1-\frac{y}{b}\right)^{p+q+1}d\left(\frac{y}{b}\right)$$ $$\underbrace{=}_{t=y/b}b^{n+p+q+2}\int_0^{1}t^n(1-t)^{p+q+1}dt=b^{n+p+q+2}B(n+1,p+q+2)$$ $$=b^{n+p+q+2}\frac{\Gamma (n+1)\Gamma(p+q+2)}{\Gamma (n+p+q+3)}=b^{n+p+q+2}\frac{n!(p+q+1)!}{(n+p+q+2)!}.$$ Podemos por tanto escribir $$I=\frac{p!q!}{(p+q+1)!}\frac{n!(p+q+1)!}{(n+p+q+2)!}\int_0^1x^m(1-x)^{n+p+q+2}dx$$ $$=\frac{n!p!q!}{(n+p+q+2)!}B(m+1,n+p+q+3)$$ $$=\frac{n!p!q!}{(n+p+q+2)!}\frac{\Gamma (m+1)\Gamma (n+p+q+3)}{\Gamma (m+n+p+q+3)}$$ $$=\frac{n!p!q!}{(n+p+q+2)!}\frac{m!(n+p+q+2)!}{(m+n+p+q+3)!}$$ $$=\boxed{\;\frac{m!n!p!q!}{(m+n+p+q+3)!}.\;}$$

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