Máximo de $\scriptstyle f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n{\log(1+x_i)}$ con $ \scriptstyle\sum_{i=1}^nx_i=a$

Enunciado
Determinar el máximo de la función $$f:\left(\mathbb{R}^+\right)\to \mathbb{R},\quad f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n{\log(1+x_i)},$$ con la restricción $x_1+\cdots x_n=a$ ($a$ real y positivo).
Sugerencia: usar que la media geométrica de $n$ números reales y no negativos no es mayor que su media aritmética.

Solución
Podemos expresar $f(x_1,\ldots,x_n)=\log\prod_{i=1}^n(1+x_i).$ Dado que la función logaritmo es estrictamente creciente, el punto donde se alcanza el máximo absoluto de $f$ es el mismo en el que se alcanza el máximo absoluto de $$g(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{i=1}^n(1+x_i).$$ Usando que la media geométrica de $n$ números reales y no negativos no es mayor que su media aritmética, $$\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n(1+x_i)}\le \frac{\sum_{i=1}^n(1+x_i)}{n}\text{ o bien }, $$ $$\displaystyle\prod_{i=1}^n(1+x_i)\leq \dfrac{\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(1+x_i) \right)^n}{n^n}.$$ Como  $x_1+\cdots x_n=a,$ se verifica $$g(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{i=1}^n(1+x_i)=(1+x_1)(1+x_2)\ldots (1+x_n)$$ $$\le \frac{\left[(1+x_1)+\cdots +(1+x_{n-1})+\left(1+(a-x_1\ldots -x_{n-1})\right)\right]^n}{n^n}$$ $$=\frac{(a+n)^n}{n^n}=\left(1+\frac{a}{n}\right)^n=K.$$ El número $K$ es por tanto una cota superior de $g,$ cota superior que se alcanza pues $$P=\left(\frac{a}{n},\frac{a}{n},\ldots,\frac{a}{n}\right)\Rightarrow g(P)=\left(1+\frac{a}{n}\right)\left(1+\frac{a}{n}\right)\ldots \left(1+\frac{a}{n}\right)=K.$$ El máximo de la función $f$ es por tanto $$f_{\max}(P)=\log \left(1+\frac{a}{n}\right)^n=n\log \left(1+\frac{a}{n}\right).$$

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