Ideal maximal en el anillo de las funciones de clase infinito

Demostramos que el ideal de las funciones que se anulan en 0 es ideal maximal del anillo de las funciones de clase infinito.

Enunciado
(a)  Sea  $A=\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})$ el conjunto de las funciones de clase infinito de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}.$ Demostrar que es un subanillo del anillo $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ de las funciones reales de variable real, con las operaciones habituales suma y producto.
(b)  Demostrar que  $I=\{f\in A:f(0)=0\}$ es ideal de $A.$
(c)  Demostrar que  $I$ es ideal maximal de $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}).$

Solución
(a)  Si  $f$ y  $g$ son funciones de clase infinito en  $\mathbb{R},$ también lo son $f-g$ y  $fg,$ de acuerdo con conocidas propiedades de análisis. Por el teorema de caracterización de subanillos concluimos que $A$ es subanillo del anillo $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}).$ Además, al ser $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ conmutativo así lo es $A,$ y al ser la función constante $1$ de clase infinito, $A$ es unitario.

(b)  Para todo  $f,g\in I$ se verifica  $(f-g)(0)=f(0)-g(0)=0-0=0,$ es decir $f-g\in I.$ Para todo $h\in A$ y para todo $f\in I$ se verifica $(hf)(0)=h(0)f(0)$ $=$ $h(0)\cdot 0$ $=0,$ es decir $hf\in I.$ Concluimos que $I$ es ideal de $A.$

(c)  Bastará demostrar que $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})/I$ es un cuerpo. Sea $[f]\in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})/I$ con $[f]\ne [0],$ esto implica que $f-0=f\notin I$ y por tanto $f(0)\ne 0.$ Consideremos la función constante $g(x)=1/f(0)$ que claramente es de clase infinito. Tenemos $$(fg-1)(0)=f(0)\cdot\frac{1}{f(0)}-1=0\Rightarrow fg-1=I\Rightarrow[f][g]=[fg]=[1],$$ y por tanto todo elemento no nulo de $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})/I$ tiene inverso.

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