Caracterización de una topología por axiomas de clausura de Kuratowski

Caracterizamos una topolocía por medio de los axiomas de clausura de Kuratowski.

Enunciado
Sea $X$ un conjunto no vacío y sea $k:\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X)$ una aplicación que satisface los llamados axiomas de clausura de Kuratowski:$$\begin{aligned}&\left[K_1\right]\quad k\left(\emptyset\right)=\emptyset.\\
&\left[K_2\right]\quad A\subset k(A)\text{ para todo }A\in\mathcal{P}(X).\\
&\left[K_3\right]\quad k(A\cup B)=k(A)\cup k(B)\text{ para todo }A,B\in\mathcal{P}(X).\\
&\left[K_4\right]\quad k\left(k(A)\right)=k(A)\text{ para todo }A\in\mathcal{P}(X).\end{aligned}$$ Demostrar que existe una única topología en $\mathcal{T}$ en $X$ tal que $k(A)$ es la clausura de $A$ para todo $A\subset X.$

Solución
Supongamos que existe una toplogía $\mathcal{T}$ en $X$ de tal manera que la clausura o adherencia de cada conjunto $A$ coincide con $k(A)$ i.e. $\overline{A}=k(A).$ Por la conocida caracterización de los cerrados de una topología, la familia de cerrados de $\mathcal{T}$ ha de ser necesariamente $$\mathcal{F}=\{F\subset X:k(F)=F\},$$ la cual determina unívocamente una topología $$\mathcal{T}=\{G\subset X:G^c\in \mathcal{F}\}.$$ Veamos que $\mathcal{F}$ cumple las tres propiedades de los cerrados que caracterizan a una topología. Es decir,
(a) $\emptyset$ y $X$ pertenecen a $\mathcal{F}.$
(b) Uniones finitas de elementos de $\mathcal{F}$ pertenecen a $\mathcal{F}.$
(c) Intersecciones cualesquiera de elementos de $\mathcal{F}$ pertenecen a $\mathcal{F}.$

Efectivamente,
(a) $\emptyset\in\mathcal{F}$ por $[K_1].$ Por $[K_2]$ se verifica $X\subset k(X),$ luego $X=k(X)$ y por tanto $X\in\mathcal{F}.$
(b) Si $\{F_i\}$ es familia finita de elementos de $\mathcal{F}$ tenemos por $[K_2]$ $$ k\left(\cup_i F_i\right)=\cup_ik(F_i)=\cup_iF_i\Rightarrow \cup_iF_i\in\mathcal{F}.$$ (c) Del axioma $[K_3],$ $$M\subset N\Rightarrow k\left(N\right)=k\left[(N\setminus M)\cup M\right]= k(N\setminus M)\cup k(M)\Rightarrow k(M)\subset k(N).$$ Sea ahora $\{F_i\}$ una familia (finita o no) de elementos de $\mathcal{F}$ y llamemos $F=\cap_iF_i.$ Entonces, $$F\subset F_i\;\forall i\Rightarrow k(F)\subset k(F_i)\;\forall i\Rightarrow k(F)\subset \cap_ik(F_i)=\cap_iF_i=F$$ es decir $F\subset k(F),$ y por el axioma $[K_2],$ $F\subset k(F)$ luego $k(F)=F$ y por tanto $F\in\mathcal{F}.$

Falta demostrar que para todo $A\subset X$ se verifica $\overline{A}=k(A).$ En efecto, $$\overline{A}=\bigcap_{F\in \mathcal{F}\;\wedge\; A\subset F}F=\bigcap_{k(F)=F\;\wedge\; A\subset F}F.$$ Por $[K_4],$ $k(A)=k(k(A))$ es un conjunto cerrado que contiene a $A$ y por tanto $\overline{A}\subset k(A).$ Por otra parte, $$A\subset\bigcap_{F\in \mathcal{F}\;\wedge\; A\subset F}F\Rightarrow k(A)\subset k\left(\bigcap_{F\in \mathcal{F}\;\wedge\; A\subset F}F\right)=\bigcap_{F\in \mathcal{F}\;\wedge\; A\subset F}F=\overline{A}.$$ Es decir, $\overline{A}\subset k(A)$ y $k(A)\subset \overline{A}$ luego $k(A)= \overline{A}.$