Suma $\scriptstyle \sum_{k=0}^\infty{(I-A)^k}$ en un espacio de matrices

Enunciado
Sea  $\mathbb{K}$ el cuerpo de los reales o los complejos,  y $\left\|{\;}\right\|$ una norma matricial en el espacio vectorial $E=\mathbb{K}^{n\times n}$ de las matrices cuadradas de orden $n$ con coeficientes en $\mathbb{K}.$ Sea $A\in \mathbb{K}^{n\times n}$ tal que $\left\|{A-I}\right\|<1.$ Demostrar que la serie $\sum_{k=0}^\infty{(I-A)^k}$ es absolutamente convergente y que $$\sum_{k=0}^\infty{(I-A)^k}=A^{-1}.$$

Solución
Dado que la norma dada es matricial, se verifica $\left\|MN\right\|\le \left\|M\right\|\left\|N\right\|$ para todo par de matrices $M,N\in E.$ Entonces, $$\left\|(I-A)^k\right\|\le \left\|I-A\right\|^k=\left\|A-I\right\|^k.$$ La serie geométrica $\sum_{k=0}^{\infty}\left\|A-I\right\|^k$ es convergente pues por hipótesis, el módulo de $\left\|A-I\right\|$ es menor que 1. Entonces, usando el criterio de la mayorante $$0\le \left\|(I-A)^k\right\|\le \left\|A-I\right\|^k\Rightarrow \sum_{k=0}^{\infty}\left\|(I-A)^k\right\|\text{ es conv.}\Rightarrow\sum_{k=0}^\infty(I-A)^k\text{ abs. conv.}$$ Denotemos ahora $B=I-A.$ Tenemos $$(I-B)\sum_{k=0}^{n-1}B^k=(I-B)(I+B+B^2+\cdots +B^{n-1})$$ $$=(I+B+B^2+\cdots +B^{n-1})-(B+B^2+B^3+\cdots +B^{n})=I-B^n.$$ Al ser la norma dada una norma matricial se verifica $\rho (B)\le \left\|B\right\|,$ siendo $\rho (B)$ el radio espectral de $B,$ con lo cual $B^n\to 0$ cuando $n\to \infty.$ Entonces, $$(I-B)\sum_{k=0}^{n-1}B^k=I-B^n\Rightarrow (I-B)\lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}B^k=I-0\Rightarrow (I-B)\sum_{k=0}^{\infty}B^k=I$$ $$\underbrace{\Rightarrow}_{B=I-A} A\sum_{k=0}^{\infty}(I-A)^k=I\Rightarrow \sum_{k=0}^{\infty}(I-A)^k=A^{-1}.$$

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