Acotación por $e^{\alpha t}$ de las soluciones de un sistema diferencial

Enunciado
Sea  $A \in\mathbb{R}^{n\times n}$ , con $n$ valores propios distintos y la parte real de cada valor propio $\lambda$ es menor que algún número negativo $\alpha$. Demuestre que para cada solución de $X^{\prime}(t) = Ax(t)$, existe  $t_0 > 0$ tal que  $$\left\|{X(t)}\right\|<e^{\alpha t} \text{ si } t_0\le t.$$ Solución
Las soluciones del sistema $X^{\prime}(t) = Ax(t)$ son de la forma $X(t)=e^{tA}C.$ Tomando normas $$\left\|{X(t)}\right\|\le \left\|{e^{tA}}\right\|\left\|{C}\right\|.\quad (1)$$ La matriz $A$ tiene $n$ valores propios distientos en $\mathbb{C},$ en consecuencia es diagonalizable en $\mathbb{C}.$ Existe por tanto una matriz invertible $P\in\mathbb{C}^{n\times n}$ tal que $A=PDP^{-1}$ con $D$ la diagonal de valores propios. Entonces, $$\left\|e^{tA}\right\|=\left\|{Pe^{tD}P^{-1}}\right\|\le \left\|{P}\right\|\left\|e^{tD}\right\|\left\|{P^{-1}}\right\|=c(P)\left\|e^{tD}\right\|,$$ en donde $c(P)=\left\|{P}\right\|\left\|{P^{-1}}\right\|$ es el número de condición de $P.$

La matriz $e^{tD}$ es de la forma  $$e^{tD}=\text{diag }\left(e^{(\alpha_1+\beta_1i)t},e^{(\alpha_1-\beta_1i)t},\ldots,e^{(\alpha_p+\beta_pi)t},e^{(\alpha_p-\beta_pi)t}\right)$$ y  $(e^{tD})^*e^{tD}=\text{diag }(e^{2\alpha_1t},\ldots, e^{2\alpha_pt}),$ luego $$\left\|e^{tD}\right\|=\sqrt{\max\{e^{2\alpha_jt}\}}=\max\{e^{\alpha_jt}\}=e^{tm}\;(m=\max{\{\alpha_j\}}).$$ Usando $(1)$ podemos escribir $ \left\|{X(t)}\right\|\le c(P)\left\|{C}\right\|e^{m t}.$ Tenemos las equivalencias $$\left\|{X(t)}\right\|\le e^{\alpha t}\Leftrightarrow c(P)\left\|{C}\right\|e^{m t}\le e^{\alpha t}\Leftrightarrow c(P)\left\|{C}\right\|\le e^{(\alpha-m)t}.$$ Dado que $\alpha-m>0,$ se verifica $e^{(\alpha-m)t}\to +\infty$ cuando $t\to +\infty.$ Es decir, a partir de un $t_0$ se verifica $c(P)\left\|{C}\right\|\le e^{(\alpha-m)t}$ y por ende $\left\|{X(t)}\right\|\le e^{\alpha t}$ si $t\ge t_0.$

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