Seminorma del supremo en el anillo de las funciones continuas

Definimos el concepto de seminorma, tanto arquimediana y no arquimediana en un anillo unitario y construimos la seminorma del supremo en el anillo de las funciones continuas.

Enunciado
Si $R$ es un anillo unitario (elemento unidad $1_R$) una seminorma en $R$ es cualquier aplicación $N:R\to\mathbb{R}^+$ cumpliendo los axiomas $$\begin{aligned}&(1)\quad N\left(1_R\right)=1.\\
&(2)\quad N(xy)\le N(x)N(y)\quad \forall x,y\in R.\\
&(3)\quad N(x+y)\le N(x)+N(y)\quad \forall x,y\in R.\end{aligned}$$ Una seminorma en un anillo unitario $R$ se dice que es no arquimediana si el axioma $(3)$ es sustituye por la condición más fuerte $$(3)’\quad N(x+y)\le\max\{N(x),N(y)\}\forall x,y\in R,$$ llamada desigualdad ultramétrica, y si no se cumple $(3)’$ la seminorma se dice que es arquimediana.

Sea $R=\mathcal{C}(I)$ el anillo de las funciones reales continuas en el intervalo $I=[a,b]$ con las operaciones habituales suma y producto. Se define la aplicación $$N:R\to \mathbb{R}^+,\quad N(f)=\sup\{\left|f(x)\right|:x\in I\}.$$ (a)  Demostrar que $N$ es una seminorma en $R$ (se la denomina seminorma del supremo).
(b)  Demostrar que tal seminorma es arquimediana.

Solución
(a) Veamos que la aplicación dada satisface en el anillo de las funciones dado los axiomas de seminorma. Efectivamente, la función $N$ está bien definida por un conocido resultado de Análisis. La función $1_R$ es $1_R(x)=1$ para todo $x\in I,$ por tanto $$ N\left(1_R\right)=\sup\{\left|1_R(x)\right|:x\in I\}=\sup\{1:x\in I\}=1.$$ Sean ahora $f,g\in R.$ Tenemos $$N(fg)=\sup\{\left|(fg)(x)\right|:x\in I\}=\sup\{\left|f(x)g(x)\right|:x\in I\}$$ $$=\sup\{\left|f(x)\right|\left|g(x)\right|:x\in I\}$$ $$\le \sup\{\left|f(x)\right|:x\in I\}\sup\{\left|g(x)\right|:x\in I\}=N(f)N(g).$$ Por otra parte, $$N(f+g)=\sup\{\left|(f+g)(x)\right|:x\in I\}=\sup\{\left|f(x)+g(x)\right|:x\in I\}$$ $$=\sup\{\left|f(x)\right|+\left|g(x)\right|:x\in I\}$$ $$\le \sup\{\left|f(x)\right|:x\in I\}+\sup\{\left|g(x)\right|:x\in I\}=N(f)+N(g).$$ Por tanto, $N$ es seminorma.

(b) Si  $f=g=1_R$ tenemos $N(f)=N(g)=1$ y $$N(f+g)=\sup\{(1_R+1_R)(x):x\in I\}=\sup\{2:x\in I\}=2,$$ lo cual implica que $2=N(f+g)\not\le \max\{N(f),N(g)\}=1.$

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