Forma bilineal a partir de una suma directa

Enunciado
Sea $V$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $W_1$ y $W_2$ dos subespacios de $V$ tales que $V=W_1 \oplus W_2.$ Sea  $f$ una forma bilineal sobre $W_1$ y $g$ una forma bilineal sobre $W_2,$ y sea la aplicación $$h:V\times V \rightarrow{\mathbb{K}},\quad h(x,y)=f(x_1,y_1)+g(x_2,y_2)$$ donde $x=x_1+x_2$ e $y=y_1+y_2$ $x$ e $y$ son las representaciones relativas a la suma directa $W_1 \oplus W_2$.
a)  Demostrar que $h$ es una forma bilineal sobre $V$, cuyas restricciones a $W_1$ y $W_2$ son respectivamente $f$ y $g$.
b)  Demostrar que si $x\in{W_1}$ e $y\in{W_2}$, entonces $h(x,y)=h(y,x)=0$.

Solución
a)  La aplicación  $h$ está bien definida pues al ser $V=W_1 \oplus W_2,$ la representación de todo vector de $V$ en suma de uno de $W_1$ y otro de $W_2$ es única. Veamos que $h$ es forma bilineal. En efecto, para todo $\alpha,\beta \in\mathbb{K},$ para todo $x,x’,y\in V,$ y usando las correspondientes descomposiciones:
$$\begin{aligned}h(\alpha x+\beta x’,y)&=h\left[\alpha (x_1+x_2)+\beta (x'_1+x'_2),y_1+y_2\right]\\
& =h\left[\left(\alpha x_1+\beta x'_1\right)+\left(\alpha x_2+\beta x'_2\right),y_1+y_2\right]\\
& =f\left(\alpha x_1+\beta x’_1,y_1\right)+g\left(\alpha x_2+\beta x’_2,y_2\right)\end{aligned}.$$ Dado que $f$ y $g$ son formas bilineales, $$\begin{aligned}h(\alpha x+\beta x’,y)&=\alpha f(x_1,y_1)+\beta f(x’_1,y_1)+\alpha g(x_2,y_2)+\beta g(x’_2,y_2)\\
&=\alpha \left(f(x_1,y_1)+g(x_2,y_2)\right)+\beta \left(f(x’_1,y_1)+g(x’_2,y_2)\right)\\
&=\alpha h(x,y)+\beta h(x’,y).
\end{aligned}$$ Análogamente de se demuestra la otra condición de forma bilneal: $$h(x,\alpha y+\beta y’)=\alpha h(x,y)+\beta h(x,y’)\quad\forall \alpha,\beta\in\mathbb{K}\;\forall x,y,y’\in V.$$ Sean ahora $x,y\in W_1.$ Las correspondientes descomposiciones son $x=x+0,$ $y=y+0.$ En consecuencia, $$h(x,y)=f(x,y)+g(0,0)=f(x,y)+0=f(x,y)\Rightarrow h_{|W_1}=f.$$ Análogamente se demuestra que $h_{|W_2}=g.$

b)  Si $x\in{W_1}$ e $y\in{W_2},$ las correspondientes descomposiciones son $x=x+0,$ $y=0+y,$ por tanto $$h(x,y)=f(x,0)+g(0,y)=0+0=0,$$ $$h(y,x)=f(0,x)+g(y,0)=0+0=0.$$

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