Número combinatorio $\binom{2n}{n}$ e integral

Expresamos el número combinatorio $\binom{2n}{n}$ en términos de una integral definida.

Enunciado
Para todo entero positivo $n$, demostrar la relación $$\displaystyle\binom{2n}{n}=\frac{2^{2n}}{(2n+1)\int_0^1(1-x^2)^ndx}.$$

Solución
Integrando por partes con $u=(1-x^2)^n$ y $dv=dx$ tenemos $$\int_0^1(1-x^2)^ndx =\left[ x(1-x^2)^n\right]_0^1+2n\int_0^1x^2(1-x^2)^{n-1}dx$$ $$=0-2n\int_0^1(1-x^2-1)(1-x^2)^{n-1}dx$$ $$=-2n\int_0^1(1-x^2)^ndx+2n\int_0^1(1-x^2)^{n-1}dx.$$Obtenemos por tanto la relación $$\int_0^1(1-x^2)^ndx=\frac{2n}{2n+1}\int_0^1(1-x^2)^{n-1}dx.$$ Dado que $\int_0^1(1-x^2)\;dx=2/3,$ obtenemos  $$\int_0^1(1-x^2)^ndx=\frac{2}{3}\frac{4}{5}\cdots\frac{2n}{2n+1}=\frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)(2n)!}$$ $$=\frac{2^{2n}}{(2n+1)}\frac{(n!)^2}{(2n)!}=\frac{2^{2n}}{(2n+1)}\frac{1}{\binom{2n}{n}},$$ y queda demostrada la igualdad propuesta.

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