Igualdad integral $\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt=\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\cos t}{\log t}dt$

Enunciado
Demostrar la  igualdad entre las  integrales impropias $$I=\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt,\quad J=\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{\cos t}{\log t}dt.$$ Solución
En $[\pi,+\infty)$, tenemos $$\left|\displaystyle\frac{\sin t}{t\log^2 t}\right|\leq{\displaystyle\frac{1}{t\log^2 t}}.$$ Efectuando el cambio $x=\log t:$ $$\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{dt}{t\log^2 t}=\int_{\log \pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^2}\text{ (convergente)}$$ por tanto $I$ es absolutamente convergente y como consecuencia, convergente. Apliquemos a $I$ el conocido teorema de la integración por partes para integrales impropias (el teorema además asegura que si dos de los términos que aparecen son convergentes, también lo es el tercero). Tenemos $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & u=\sin t\\& dv=\displaystyle\frac{1}{t\log^2 t} \end{aligned}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & du=\cos t\\& v=-\displaystyle\frac{1}{\log t} \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow I=\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{\sin t}{t\log^2 t}dt=\left[-\displaystyle\frac{\sin t}{\log t}\right]_{\pi}^{+\infty}+\underbrace{\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\displaystyle\frac{\cos t}{\log t}}_{J}.$$ Por otra parte $$\left[-\displaystyle\frac{\sin t}{\log t}\right]_{\pi}^\infty=-\displaystyle\lim_{t \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sin t}{\log t}}+\displaystyle\lim_{t \to{}\pi}{\displaystyle\frac{\sin t}{\log t}}=-0+0=0.$$ Concluimos que $I$ y $J$ convergentes y tienen el mismo valor.

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