Principio del triángulo isósceles en normas no arquimedianas

Demostramos que en todo anillo unitario $R$ toda norma define una distancia y que en normas no arquimedianas se verifica el principio del triángulo isósceles: todos los triángulos son isósceles.

Enunciado
Sea $N$ una norma en un anillo unitario $R.$ Demostrar que
(a) $d_N(x,y)=N(x-y)$ define una distancia en $R.$ Se la llama distancia inducida por la norma $N$.
(b)  Si la norma $N$ es no arquimediana, entonces para todo  $x,y,z\in R$ se verifica $$d_N(x,y)\le \max\{d_N(x,z),d_N(z,y)\}$$ con igualdad si $d_N(x,y)\ne d_N(z,y).$
(c) Se verifica el principio del triángulo isósceles: en normas no arquimedianas, todos los triángulos son isósceles.

Solución
(a) Veamos que se verifican los tres axiomas de distancia. En efecto $$(1)\;\;d_N(x,y)=0\Leftrightarrow N(x-y)=0\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y.$$ Demostremos ahora que $N(-1)=1.$ En efecto, $$1=N(1)=N[(-1)(-1)]=N(-1)N(-1)=[N(-1)]^2\Rightarrow N(-1)=1.$$ Entonces, $$(2)\;\;d_N(x,y)=N(x-y)=N[(-1)(y-x)]$$ $$=N(-1)N(y-x)=N(y-x)=d_N(y,x).$$ $$(3)\;\;d_N(x,y)=N(x-y)=N[(x-z)+(z-y)]$$ $$\le N(x-z)+N(z-y)=d_N(x,y)+d_N(z,y).$$ (b)  Si $N$ no es arquimediana, sabemos que se verifica $N(x+y)\le \max \{N(x),N(y)\}$ para todo $x,y\in R$ con igualdad si $N(x)\ne N(y).$ Entonces, $$d_N(x,y)=N(x,y)=N[(x-z)+(z-y)]$$ $$\le \max\{N(x-z),N(z-y)\}=\max\{d_N(x,z),d_n(z,y)\}.$$ Si $d_N(x,y)\ne d_N(z,y)$ entonces $N(x-y)\ne N(z-y)$ con lo cual la desigualdad se transforma en igualdad.

(c)  Sea el triángulo en $R$ de vértices $x,y,z.$ Si $d_N(x,y)= d_N(z,y)$ el triángulo es isósceles, y si $d_N(x,y)\ne d_N(z,y)$ entonces $d_N(x,y)= \max\{d_N(x,z),d_N(z,y)\},$ con lo cual también tiene dos lados iguales.

Nota. Dado que si $R$ es anillo unitario, toda norma $N$ induce el espacio métrico $(R,d_N)$, tiene sentido hablar en $R$ de límites de sucesiones, sucesiones de Cauchy, completación, etc.

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