Hélice circular: longitud, curvatura y torsión

Enunciado
Se considera la hélice circular $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x(t) = a\cos t\\& y(t) = a\sin t\\& z(t)=bt. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$
(a)  Determinar su longitud, correspondiente al intervalo $[0,t_0]$ ($t_0>0$).
(b)  Determinar su curvatura y torsión en un punto genérico.

Solución
(a)  Las funciones $x(t),$ $y(x),$ $z(t)$ son de clase $1$ (más aún de clase infinito) en $\mathbb{R},$ en consecuencia la hélice circular es rectificable en todo intervalo real $[\alpha,\beta].$ Su longitud en $[0,t_0]$ es $$L=\int_0^{t_0} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+ \left(\frac{dy}{dt}\right)^2+
\left(\frac{dz}{dt}\right)^2} dt =\int_0^{t_0} \sqrt{a^2\sin^2t+a^2\cos^2t+b^2}dt$$ $$= \int_0^{t_0} \sqrt{a^2+b^2}dt = t_0\sqrt{a^2+b^2}.$$ (b)  Llamemos $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)).$ La curvatura es $$K=\frac{\left|\mathbf{r}’(t)\times \mathbf{r}^{\prime\prime}(t)\right|}{\left| \mathbf{r}^{\prime}(t)\right|^3}.$$ Tenemos $$\mathbf{r}’(t)=(-a\sin t,a\cos t,b),\quad \mathbf{r}^{\prime\prime}(t)=(-a\cos t,-a\sin t,0)$$ $$\Rightarrow \mathbf{r}’(t)\times \mathbf{r}^{\prime\prime}(t)=\begin{vmatrix}{\mathbf{i}}&{\mathbf{j}}&{\mathbf{k}}\\{-a\sin t}&{a\cos t}&{b}\\{-a\cos t}&-{a\sin t}&{0}\end{vmatrix}=(ab\sin t)\;\mathbf{i}-(ab\cos t)\;\mathbf{j}+a^2\;\mathbf{k}$$ $$\Rightarrow \left|\mathbf{r}’(t)\times \mathbf{r}^{\prime\prime}(t)\right|=\sqrt{a^2b^2+a^4}=\left|a\right|\sqrt{a^2+b^2}.$$ $$\left| \mathbf{r}^{\prime}(t)\right|^3=\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^3.$$ La curvatura es por tanto $$K=\frac{\left|a\right|\sqrt{a^2+b^2}}{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^3}=\frac{\left|a\right|}{a^2+b^2}.$$ La torsión es $$T=\frac{\left[\mathbf{r}'(t), \mathbf{r}^{\prime\prime}(t),\mathbf{r}^{\prime\prime\prime}(t)\right]}{\left( \mathbf{r}^{\prime}(t)\times \mathbf{r}^{\prime\prime}(t)\right)^2}.$$ Tenemos $$\left[\mathbf{r}'(t), \mathbf{r}^{\prime\prime}(t),\mathbf{r}^{\prime\prime\prime}(t)\right]=\begin{vmatrix}{-a\sin t}&{a\cos t}&{b}\\{-a\cos t}&-{a\sin t}&{0}\\{a\sin t}&-{a\cos t}&{0}\end{vmatrix}=a^2b,$$ $$\left( \mathbf{r}^{\prime}(t)\times \mathbf{r}^{\prime\prime}(t)\right)^2=(ab\sin t,-ab\cos t,a^2)\cdot (ab\sin t,-ab\cos t,a^2)=a^2(a^2+b^2).$$ La torsión es por tanto $$T=\frac{b}{a^2+b^2}.$$

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