Dos parametrizaciones de la elipse

Proporcionamos dos parametrizaciones de la elipse, una trigonométrica y otra racional.

Enunciado
Se considera la elipse $$E=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\},\quad (a>0,b>0).$$ (a)  Demostrar que $$E=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x=a\cos \theta,\;y=b\sin \theta,\quad \theta \in [-\pi,\pi)\},$$ lo cual proporciona una parametrización trigonométrica de la elipse.
(b)  Demostrar que $$E\setminus\{(-a,0)\}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x=a\frac{1-t^2}{1+t^2},\;y=b\frac{2t}{1+t^2},\quad t\in\mathbb{R}\},$$ lo cual proporciona una parametrización racional de la elipse salvo un punto.

Solución
(a)  Todo punto de la forma $(x,y)=(a\cos \theta,b\sin \theta)$ pertenece a $E.$ En efecto, $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{a^2\cos^2 \theta}{a^2}+\frac{b^2\sin^2\theta}{b^2}=\cos^2+\sin^2=1.$$ Recíprocamente, si $(x,y)\in E,$ entonces $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ y por tanto existe un $\theta \in [-\pi,\pi)$ tal que $x/a=\cos \theta$ e $y/b=\sin\theta.$

(b)  Todo punto de la forma $$(x,y)=\left(a\frac{1-t^2}{1+t^2},b\frac{2t}{1+t^2}\right),\quad t\in\mathbb{R}$$ pertenece a $E\setminus \{(-a,0)\}.$ En efecto, por una parte $$\frac{\left(a\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2}{a^2}+\frac{\left(b\frac{2t}{1+t^2}\right)^2}{b^2}=\frac{(1-t^2)^2+4t^2}{\left(1+t^2\right)^2}=\frac{\left(1+t^2\right)^2}{\left(1+t^2\right)^2}=1,$$ y por otra parte $$ a\frac{1-t^2}{1+t^2}=-a\Rightarrow 1-t^2=-1-t^2\Rightarrow 1=-1,$$ lo cual es absurdo. Sea ahora $(x,y)\in E-\{(-a,0)\}.$ Entonces, $(x,y)=$ $(a\cos \theta,b\sin \theta)$ con $\theta\in (-\pi,\pi).$ Denotemos $t=\tan (\theta/2),$ que está definido pues $\theta/2\in (-\pi/2,\pi/2).$ Entonces, usando la fórmula de la tangente del ángulo mitad $$t=\tan\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\Rightarrow t^2=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\Rightarrow \cos \theta=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$ $$\Rightarrow \sin \theta =\sqrt{1-\frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}}=\frac{2t}{1+t^2}\Rightarrow (x,y)=\left(a\frac{1-t^2}{1+t^2},b\frac{2t}{1+t^2}\right).$$

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