Factor integrante de la forma $\mu=\mu (xy^2)$

Enunciado
(a)  Demostrar que la ecuación diferencial $$xdy+ydx+(3x^3y^4)dy=0\qquad (E)$$ tiene un factor integrante de la forma $\mu=\mu(xy^2)$ y calcularlo.
(b)  Verificar que la ecuación obtenida al multiplicar la ecuación $(E)$ por $\mu,$ es una ecuación diferencial exacta.
(c)  Resolver la ecuación $(E).$

Solución
(a)  Podemos escribir la ecuación diferencial en la forma $Pdx+Qdy=0,$ siendo $$P(x,y)=y,\quad Q(x,y)=x+3x^3y^4.$$ Llamando $z=xy^2$ y multiplicando por $\mu(z),$ obtenemos $\mu(z)Pdx+\mu(z)Qdy=0.$ Obliguemos a que esta ecuación sea diferencial exacta: $$(\mu(z)P)_y=\mu’(z)2xy\cdot y+\mu(z)\cdot 1,$$ $$(\mu(z)Q)_x=\mu’(z)y^2\cdot (x+3x^3y^4)+\mu(z)(1+9x^2y^4).$$ $$(\mu(z)P)_y=(\mu(z)Q)_x\Leftrightarrow \mu’(z)\left(2xy^2-y^2x-3x^3y^6\right)=\mu(z)\left(9x^2y^4\right).$$ Queda por tanto $$\frac{\mu’(z)}{\mu (z)}=\frac{9x^2y^4}{xy^2-3x^3y^6}=\frac{9xy^2}{1-3x^2y^4}=\frac{9z}{1-3z^2},$$ $$\log \left|\mu (z)\right|=-\frac{3}{2}\log \left|1-3z^2\right|,\; \mu(z)=e^{- \log (1-3z^2)^{3/2}},$$ $$\mu (z)=\frac{1}{(1-3x^2y^4)^{3/2}}.$$ (b)  Multiplicando la ecuación diferencial dada por el factor integrante hallado, queda en la forma $$\underbrace{(1-3x^2y^4)^{3/2}y}_{M}\;dx+\underbrace{(x+3x^3y^4)(1-3x^2y^4)^{3/2}}_{N}\;dy=0.$$ Veamos que es diferencial exacta. En efecto (b)  Multiplicando la ecuación diferencial dada por el factor integrante hallado, queda en la forma $$\underbrace{\frac{y}{(1-3x^2y^4)^{3/2}}}_{M}\;dx+\underbrace{\frac{x+3x^3y^4}{(1-3x^2y^4)^{3/2}}}_{N}\;dy=0.$$ Veamos que es diferencial exacta. En efecto $$M_y=\frac{1\cdot (1-3x^2y^4)^{3/2}-(3/2)(1-3x^2y^4)^{1/2}(-12x^2y^3)y}{(1-3x^2y^4)^3}$$ $$=\frac{(1-3x^2y^4)^{1/2}\left[1-3x^2y^4+18x^2y^4\right]}{(1-3x^2y^4)^3}=\frac{1+15x^2y^4}{(1-3x^2y^4)^{5/2}}.$$$$N_x=\frac{(1+9x^2y^4) (1-3x^2y^4)^{3/2}-(3/2)(1-3x^2y^4)^{1/2}(-6xy^4)(x+3x^3y^4)}{(1-3x^2y^4)^3}$$ $$=\frac{(1-3x^2y^4)^{1/2}\left[(1+9x^2y^4)(1-3x^2y^4)+9xy^4(x+3x^3y^4)\right]}{(1-3x^2y^4)^3}$$ $$=\frac{1-3x^2y^4+9x^2y^4-27x^4y^8+9x^2y^4+27x^4y^8}{(1-3x^2y^4)^{5/2}}=\frac{1+15x^2y^4}{(1-3x^2y^4)^{5/2}}.$$ Se verifica $M_y=N_x,$ por tanto $Mdx+Ndy=0$ es diferencial exacta.

(c)  Encontremos una función $u=u(x,y)$ tal que $u_x=M$ y $u_y=N,$ con lo cual la solución general de la ecuación $(E)$ será $u(x,y)=C$ con $C$ constante. Tenemos $$u_x=M,\;u=\int Mdx=\int \frac{y}{(1-3x^2y^4)^{3/2}}dx=\frac{xy}{\sqrt{1-3x^2y^4}}+\varphi (y).$$ Derivando $u$ respecto de $y$ $$u_y=x\frac{1\cdot \sqrt{1-3x^2y^4}-\frac{1}{2\sqrt{1-3x^2y^4}}\cdot(-12x^2y^3)y}{1-3x^2y^4}+\varphi’(y)$$ $$=x\frac{1-3x^2y^4+6x^2y^4}{(1-3x^2y^4)^{3/2}}+\varphi’(y)=\frac{x+3x^3y^4}{(1-3x^2y^4)^{3/2}}+\varphi’(y)=N+\varphi’(y).$$ Entonces, $u_y=N$ implica que $\varphi’(y)=0,$ es decir $\varphi (y)=C.$ La solución general de $(E)$ en forma implícita es por tanto $$\frac{xy}{\sqrt{1-3x^2y^4}}+C=0.$$

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