La rosa de cuatro pétalos es un conjunto algebraico

Demostramos que la rosa de cuatro pétalos es un conjunto algebraico

Enunciado
La rosa de cuatro pétalos $P\subset\mathbb{R}^2$ se define mediante la ecuación polar $\rho=\sin 2\theta.$
Usar coordenadas polares para demostrar que $$P= V\left((x^2+y^2)^3-4x^2y^2\right),$$ lo cual probará que $P$ es un conjunto algebraico.

Solución
Sea $(x,y)\in P$ con $x=\rho\cos \theta,$ $y=\rho\sin \theta.$ Entonces, $$(x^2+y^2)^3-4x^2y^2=\rho^6-4\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta=\rho^6-\rho^4(2\cos\theta\sin\theta)^2$$ $$=\rho^6-\rho^4(\sin 2\theta)^2=\rho^6-\rho^4\rho^2=0.$$ Por tanto, $P\subset V\left((x^2+y^2)^2-4x^2y^2\right).$

Sea ahora $(x,y)$ un punto que satisface $(x^2+y^2)^3-4x^2y^2=0$ y sean $(\rho,\theta)$ las coordenadas polares del punto. Tenemos que demostrar que $(x,y)\in P.$ Sustituyendo $x=\rho \cos \theta$ e $y=\rho \sin \theta,$ $$\rho^6-4\rho^4\cos^2 \theta\sin^2 \theta=0.\quad (1)$$ Claramente, $(0,0)\in P$ por tanto podemos suponer en $(1)$ que $\rho\ne 0$ con lo cual $(1)$ se reduce a $\rho^2=\sin^2 2\theta.$ Esto implica que $\rho=\sin 2\theta$ en cuyo caso $(x,y)\in P$ o bien que $\rho=-\sin 2\theta.$  Ahora bien, en este último caso podemos escribir $\rho=\sin [2(-\theta)].$ Pero la reflexión $(\rho,\theta)\to (\rho,-\theta)$ envía $(x.y)$ a un punto de la rosa de cuatro pétalos y esta se transforma en sí misma por esta reflexión, en consecuencia también en este caso $(x,y)\in P.$ Concluimos pues que la rosa de cuatro pétalos es un conjunto algebraico.

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