Existencia de ceros en el disco unidad

Estudiamos la existencia de ceros en el disco unidad de una determinada función.

Enunciado
Sea $\Omega\subset\mathbb{C}$ abierto que contiene a $\overline{D}$ siendo $D$ el disco unidad. Sea  $f \in H(\Omega) $ tal que $\left|f(z)\right| > 2 $ para todo $\left|z\right| = 1$ y $f(0) = 1$. Demostrar que  $f$ tiene algún cero en $D,$

(a)  Usando el teorema del módulo máximo.
(b)  Usando el teorema del valor medio de Gauss.

Solución
(a)  Si  $f(z)$ no tiene ceros en $D,$ la función $g(z)=1/f(z)$ es holomorfa en $D.$ Al ser holomorfa en $\Omega\supset\partial(D),$ es continua en $\partial (D),$ con $f(z)\ne 0$ en $\partial (D),$ luego $g(z)=1/f(z)$ es continua en $\partial (D).$

Se verifican por tanto las hipótesis del principio del módulo máximo para $g$ en $\overline{D},$ lo cual implica que el máximo de $\left|g(z)\right|=\left|1/f(z)\right|$ se alcanza en $\partial (D).$ Pero esto es absurdo pues $$\left|g(0)\right|=1>\frac{1}{2}=\left|g(z)\right|\quad \forall z\in\partial (D).$$ Concluimos que  $f$ ha de tener ceros en el disco unidad.

(b)  Si  $f$ no tiene ceros en el disco unidad, $g(z)=1/f(z)$ cumple las hipótesis del teorema del valor medio de Gauss en $\gamma\equiv \left|z\right|=1,$ por tanto $$g(0)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}g(e^{it})\;dt.$$ Tomando módulos $$1=\left|g(0)\right|=\dfrac{1}{2\pi}\left|\displaystyle\int_{0}^{2\pi}g(e^{it})\;dt\right|\underbrace{\le}_{\left|g(e^{it}\right|<1/2} \dfrac{1}{2\pi}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\pi=\frac{1}{2},$$ lo cual es absurdo.

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