Producto de Cauchy de series igual a la unidad

Enunciado
Usando el producto de Cauchy de series, demostrar que $$\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x)^n}{n!}\right)=1.$$ Dar una obvia interpretación de la igualdad anterior.

Solución
Aplicando el criterio de D’Alembert a ambas series para $x\ne 0,$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right|:\left|\frac{n!}{x^n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|x\right|}{n+1}=0<1,$$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{(-x)^{n+1}}{(n+1)!}\right|:\left|\frac{n!}{(-x)^n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|x\right|}{n+1}=0<1,$$ lo cual implica que ambas series son absolutamente convergentes en $\mathbb{R}$ (para $x=0$ la convergencia absoluta es trivial). Aplicando el teorema del producto de Cauchy de series, $$\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x)^n}{n!}\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\sum_{k=0}^n\frac{x^{n-k}}{(n-k)!}\frac{(-x)^{k}}{k!}\right)x^n$$ $$=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}(-x)^k\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}(x+(-x))^n=1+\sum_{n=1}^{+\infty}0x^n=1.$$ Una obvia interpretación de la igualdad demostrada es que $e^xe^{-x}=e^0=1,$ dado que según sabemos, $$e^t=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{t^n}{n!}\quad \forall t\in\mathbb{R}.$$

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