Unidades en el anillo de las series formales $A[[X]]$

Demostramos una caracterización de las unidades del anillo de las series formales $A[[X]].$

Enunciado
Sea  $A$ un anillo conmutativo y unitario y $A[[X]]$ el anillo de las series formales $S(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n$ con coeficientes $a_n\in A.$ Demostrar que $$S(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n\text{ es unidad en }A[[X]]\Leftrightarrow a_0\text{ es unidad en }A.$$

Solución
$\Rightarrow)$  Si $S(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n$ es una unidad de $A[[X]],$ entonces existe $T(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n$ tal que $$S(X)\cdot T(X)=\sum_{n\ge 0}\left(\sum_{k=0}^na_{n-k}b_k\right)X^n=1+\sum_{n\ge 1}0X^n$$ lo cual implica que $a_0b_0=1,$ luego $a_0$ es unidad en $A.$

$\Leftarrow)$  Sea $S(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n\in A[[X]]$ una serie formal tal que $a_0$ es unidad en $A.$ Construyamos otra serie formal $T(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n\in A[[X]]$ tal que $S(X)\cdot T(X)=1,$ es decir tal que $$a_0b_0=1,\text{ y } \;c_n=\sum_{k=0}^na_{n-k}b_k=0\text{ si }n\ge 1.\quad (*)$$ Como $a_0$ es unidad, $b_0=a_0^{-1}.$ Supongamos ahora que hemos elegido convenientemente los coeficientes $b_n$ para $0\le n\le m.$ Entonces, $c_{m+1}$ ha de verificar $$0=c_{m+1}=\sum_{k=0}^{m+1}a_{m+1-k}b_k=a_0b_{m+1}+\sum_{k=0}^{m}a_{m+1-k}b_k.$$ Pero dado que $a_0$ es unidad basta elegir $b_{m+1}=-a_0^{-1}\sum_{k=0}^{m}a_{m+1-k}b_k.$ Queda pues connstruida $T(X)$ tal que $S(X)\cdot T(X)=1.$

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