$X=\left\{(t,t):t\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\right\}$ no es cerrado con la topología de Zariski

Enunciado
Demostrar que $$X=\left\{(t,t):t\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\right\}$$ no es cerrado en $\mathbb{R}^2$ con la topología de Zariski.

Solución

Los conjuntos cerrados con la topología de Zariski son exactamente los conjuntos algebraicos. Veamos que $X$ no es algebraico en $\mathbb{R}^2$. En efecto, si lo fuera existirian polinomios $f_1,\ldots,f_m$ de $\mathbb{R}[x,y]$ tales que $X=V(f_1,\ldots,f_m).$ Cualquier polinomio $f\in\langle f_1,\ldots,f_m\rangle$ anula a todo punto de $X,$ por tanto el polinomio $g(t):=f(t,t)$ anula a todo $\mathbb{R}\setminus \{1\}.$

Ahora bien, como $\mathbb{R}$ es cuerpo infinito, $g$ es el polinomio nulo. En particular, todo $f\in \langle f_1,\ldots,f_m\rangle$ satisface $f(1,1)=0,$ es decir $(1,1)\in V(f_1,\ldots,f_m).$ Pero $(1,1)\notin X$ (contradicción).

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