Funciones cumpliendo $ f’(\lambda x) = f’(x)\sin x + f(x)\cos x$

Resolvemos una ecuación en derivadas, con un parámetro.

Enunciado
Determinar todas las funciones derivables  $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación $$ f’(\lambda x) = f’(x)\sin x + f(x)\cos x\quad \forall \lambda>0.$$ Solución
Sea  $f$ una función que satisface la igualdad dada. Veamos condiciones necesarias que ha de cumplir $f.$ Sea $x,y$ reales positivos. Para $\lambda = 1$ obtenemos $$ f’(x) = f’(x) \cos x + f(x) \sin x.$$ Existe $\mu>0$ tal que $y =\mu x,$ por tanto $$f’(y) = f’(\mu x) = f’(x) \cos x + f(x) \sin x = f’(x).$$ Es decir,  $f$ es constante en $(0,+\infty)$ y por tanto $f(x)=ax+C_1$ en $(0,+\infty).$ El mismo razonamiento lo podemos hacer para $x,y$ reales negativos, por tanto  $f(x)=b+C_2$ en $(-\infty,0).$ Al ser  $f$ continua en $0,$ $$f(0)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^-}f(x)\Rightarrow f(0)=C_1=C_2.$$ Al ser  $f$ derivable en $0,$ $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & f’(0+)=\lim_{h\to 0^+}\frac{ah+C_1-C_1}{h}=a\\& f’(0-)=\lim_{h\to 0^-}\frac{bh+C_2-C_2}{h}=b \end{aligned}\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b.$$ En consecuencia, si una función  $f$ cumple la igualdad dada, ha de ser necesariamente de la forma  $f(x)=ax+C_1.$ Sustituyendo en tal igualdad, $$a=a\sin x+\left(ax+C_1\right)\cos x.$$ Dando a $x$ los valores $0$ y $\pi,$ $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & a=C_1\\& a=-\pi a-C_1, \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ lo cual implica que  $a=C_1=0,$ luego la única posible solución de la ecuación dada es la función nula, que evidentemente es solución.

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