Lema de Gauss

Demostramos el Lema de Gauss para polinomios con coeficientes enteros.

Enunciado
Demostrar el Lema de Gauss: sea $P(x)\in\mathbb{Z}[x],$ entonces $$P(x)\text{ es irreducible en }\mathbb{Z}[x]\Rightarrow P(x)\text{ es irreducible en }\mathbb{Q}[x].$$ Solución
Por reducción al absurdo, sea $P(x)\in\mathbb{Z}[x],$ se trata de demostrar que $$P(x)\text{ es reducible en }\mathbb{Q}[x]\Rightarrow P(x)\text{ es reducible en }\mathbb{Z}[x].$$ Si $P$ es reducible en $\mathbb{Q}[x]$ entonces,  $P=P_1P_2$ con $P_1,P_2\in\mathbb{Q}[x],$ $\text{grad }P_1>1$ y $\text{grad }P_2>1.$ Podemos multiplicar por un $n$ natural tal que $$nP=\left(b_lx^l+b_{l-1}x^{l-1}+\cdots+b_0\right)\left(c_mx^m+c_{m-1}x^{m-1}+\cdots+c_0\right)\quad (*)$$ con $b_i,c_i\in\mathbb{Z}.$ Sea $n$ el menor natural tal que $nP$ se puede descomponer en $\mathbb{Z}[x].$ Si $n=1$ ya estaría demostrado. Sea $n>1$ y $p$ divisor primo de $n,$ entonces no todos los $b_i$ ni todos los $c_i$ son divisibles por $p$ (pues $n$ es mínimo).

Sean $b_i,$ $c_j$ tales que $$p\mid b_0,\;p\mid b_1,\ldots,p\not\mid b_i,\ldots$$ $$p\mid c_0,\;p\mid c_1,\ldots,p\not\mid c_j,\ldots$$ (pudiera ocurrir $i=0,$ $j=0$). Sea $P(x)=\sum a_kx^k.$ Igualando en $(*)$ los coeficientes de grado $i+j,$ $$na_{i+j}=b_{i+j}c_{0}+b_{i+j-1}c_{1}+\cdots+b_{i}c_{j}+\cdots +b_{0}c_{i+j}$$ $$\Rightarrow p\mid b_ic_j\underbrace{\Rightarrow}_{p\text{ primo}} p\mid b_i\;\vee\; p\mid c_j$$ lo cual es una contradicción. Por tanto ha de ser $n=1,$ lo cual prueba el Lema de Gauss.

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