Todo grupo de orden 4 es abeliano

Demostramos que todo grupo de orden 4 es abeliano.

Enunciado
Demostrar que todo grupo de orden 4 es abeliano.

Solución
Sea $G$ un grupo de orden 4. Si $G$ es cíclico, ya está demostrado pues sabemos que todo grupo cíclico es abeliano. Supongamos que $G$ no es cíclico y que $a\in G.$ Como el orden de todo elemento en un grupo finito es divisor del orden del grupo, o bien $a$ es de orden $1$ en cuyo caso $a=e,$ o bien es de orden $2,$ en cuyo caso $a^2=e.$ Por tanto, en cualquier caso $a^2=e$ para todo $a\in G.$

Sean ahora $a,b\in G.$ Se verifica $(ab)(ab)=e.$ Multiplicando por $ba$ a la derecha: $$abab=e\Rightarrow ababba=ba\Rightarrow abaea=ba$$ $$\Rightarrow abaa=ba\Rightarrow abe=ba\Rightarrow ab=ba,$$ es decir, $G$ es abeliano.

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