Afijos formando un triángulo rectángulo isósceles

Determinamos todos los números complejos cuyos afijos forman un triángulo rectángulo isósceles con otros dos vértices que son raíces de una ecuación de segundo grado.

Enunciado
Dada la ecuación $z^2-8iz-19+4i=0$ cuyas raíces son $z_1$ y $z_2,$ hallar los complejos $z_3$ tales que los afijos $z_1,$ $z_2,$ y $z_3$ formen un triángulo rectángulo isósceles. Considérese el vértice correspondiente al ángulo recto como el afijo de la raíz de mayor componente imaginaria.

Solución
Resolvamos la ecuación dada. $$z=\frac{8i\pm \sqrt{(8i)^2-4(-19+4i)}}{2}=\frac{8i\pm \sqrt{12-16i}}{2}=4i\pm \sqrt{3-4i}.$$ Por otra parte, $$\sqrt{3-4i}=x+iy\Leftrightarrow 3-4i=(x+iy)^2\Leftrightarrow 3-4i=x^2-y^2+2xyi$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^2-y^2=3\\& 2xy=-4 .\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Teniendo en cuenta que $x,y$ son reales y resolviendo el sistema anterior obtenemos $(x,y)=(2,-1)$ y $(x,y)=(-2,1)$ y por tanto las raíces cuadradas de $3-4i$ son $2-i$ y $2+i.$ Las raíces de la ecuación son por tanto $$z_1=4i+(2-i)=2+3i,$$ $$z_2=4i+(-2+i)=-2+5i.$$ El afijo de $z_2$ es el vértice del ángulo recto, por tanto obtenemos un triángulo rectángulo isósceles girando $z_1$ ángulos de $\pi/2$ o $-\pi/2$ alrededor de $z_2,$ es decir $$z_3=z_2+(z_1-z_2)e^{\pi i/2}=-2+5i+(4-2i)i=9i,$$ $$z_3=z_2+(z_1-z_2)e^{-\pi i/2}=-2+5i+(4-2i)(-i)=-4+i.$$

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