Descomposición $A=uv^t$

Estudiamos propiedades de las matrices cuadradas de rango 1.

    Enunciado
    Sea $A$ una matriz real cuadrada de orden $n$ y rango $1.$ Analizar la validez de las siguientes afirmaciones y demostrar aquellas que son ciertas.
  1. Existen vectores columna $u,$ $v$ tales que $A=uv^T.$
  2. Existe un único número real $\alpha$ tal que $A^2=\alpha A.$
  3. Supóngase que la traza de $A$ es $2.$ Entonces, $A-I$ es invertible. En caso afirmativo, calcular su inversa.
    Sugerencia: calcular $\left(A-I\right)^2.$
    Solución
  1. Como el rango de una matriz proporciona el máximo número de vectores tanto fila como columna linealmente independientes, se deduce que existe una columna no nula de la matriz $A,$ y las restantes son combinación lineal de ella. Sea $u=(u_1,\ldots,u_n)^T$ tal columna. Entonces, $A$ tiene la forma $$A=\begin{bmatrix} \lambda_1 u_1 & \ldots & u_1 & \ldots & \lambda_n u_1\\ \vdots&&\vdots&&\vdots \\ \lambda_1 u_n & \ldots &u_n & \ldots & \lambda_n u_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_1\\ \vdots\\{u_n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_1,\ldots,1,\ldots ,\lambda_n\end{bmatrix}.$$ Llamando $v=\begin{bmatrix}\lambda_1,\ldots,1,\ldots ,\lambda_n\end{bmatrix}^T,$ obtenemos $A=uv^T.$ La afirmación es cierta.
  2. La matriz $A^2$ es $A^2=\left(uv^T\right)\left(uv^T\right)=u\left(v^Tu\right)v^T.$ Llamando $\alpha$ al escalar $v^Tu,$ obtenemos $A^2=\alpha A.$ Si existiera otro $\beta$ real tal que $A^2=\beta A,$ entonces, $$0=A^2-A^2=\alpha A-\beta A=(\alpha-\beta)A\underbrace{\Rightarrow}_{A\neq 0}\alpha -\beta =0\Rightarrow \alpha=\beta.$$ El número $\alpha$ es único y por tanto la afirmación es cierta.
  3. Tenemos $$\alpha=v^Tu=\lambda_1u_1+\cdots +1\cdot u_i+\cdots+\lambda_nu_n=\text{traza A}=2$$ $$\Rightarrow A^2=2A\Rightarrow (A-I)^2=A^2-2A+I=2A-2A+I=I.$$ De la igualdad $(A-I)(A-I)=I,$ se deduce que $A-I$ es invertible y que $(A-I)^{-1}=A-I.$ La afirmación es cierta.
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