Descomposición $A=uv^t$

Enunciado
Sea $A$ una matriz real cuadrada de orden $n$ y rango $1.$ Analizar la validez de las siguientes afirmaciones y demostrar aquellas que son ciertas.
$1)$ Existen vectores columna $u,$ $v$ tales que $A=uv^T.$
$2)$ Existe un único número real $\alpha$ tal que $A^2=\alpha A.$
$3)$ Supóngase que la traza de $A$ es $2.$ Entonces, $A-I$ es invertible. En caso afirmativo, calcular su inversa.
Sugerencia: calcular $\left(A-I\right)^2.$

Solución
$1)$ Como el rango de una matriz proporciona el máximo número de vectores tanto fila como columna linealmente independientes, se deduce que existe una columna no nula de la matriz $A,$ y las restantes son combinación lineal de ella. Sea $u=(u_1,\ldots,u_n)^T$ tal columna. Entonces, $A$ tiene la forma $$A=\begin{bmatrix} \lambda_1 u_1 & \ldots & u_1 & \ldots & \lambda_n u_1\\ \vdots&&\vdots&&\vdots \\ \lambda_1 u_n & \ldots &u_n & \ldots & \lambda_n u_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_1\\ \vdots\\{u_n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_1,\ldots,1,\ldots ,\lambda_n\end{bmatrix}.$$ Llamando $v=\begin{bmatrix}\lambda_1,\ldots,1,\ldots ,\lambda_n\end{bmatrix}^T,$ obtenemos $A=uv^T.$ La afirmación es cierta.

$2)$ La matriz $A^2$ es $A^2=\left(uv^T\right)\left(uv^T\right)=u\left(v^Tu\right)v^T.$ Llamando $\alpha$ al escalar $v^Tu,$ obtenemos $A^2=\alpha A.$ Si existiera otro $\beta$ real tal que $A^2=\beta A,$ entonces, $$0=A^2-A^2=\alpha A-\beta A=(\alpha-\beta)A\underbrace{\Rightarrow}_{A\neq 0}\alpha -\beta =0\Rightarrow \alpha=\beta.$$ El número $\alpha$ es único y por tanto la afirmación es cierta.

$3)$ Tenemos $$\alpha=v^Tu=\lambda_1u_1+\cdots +1\cdot u_i+\cdots+\lambda_nu_n=\text{traza A}=2$$ $$\Rightarrow A^2=2A\Rightarrow (A-I)^2=A^2-2A+I=2A-2A+I=I.$$ De la igualdad $(A-I)(A-I)=I,$ se deduce que $A-I$ es invertible y que $(A-I)^{-1}=A-I.$ La afirmación es cierta.

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