Recíproco del teorema del valor medio

Enunciado
Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b).$ Se considera el siguiente enunciado: $$\forall c\in (a,b)\;\exists x,y\in [a,b]:f’(c)=\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}.\qquad (E)$$ Nótese que se trata de una especie de recíproco del teorema del valor medio.
Demostrar mediante un contraejemplo que en general $(E)$ es falso.

Solución
Sea $[a,b]$ conteniendo a $0$ como punto interior y sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ dada por $f(t)=t^3.$ Tenemos $f’(0)=0$ y para $x\ne y$ en $[a,b],$ $$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\frac{y^3-x^3}{x-y}=y^2+yx+x^2.$$ Ahora bien, $$y^2+yx+x^2=0\Leftrightarrow y=\frac{-x\pm \sqrt{-3x^2}}{2}=\frac{-x\pm \sqrt{3}xi}{2}$$ y la única solución real de la ecuación anterior se obtiene para $x=y=0.$ Concluimos $\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\ne 0$ para todo $x\ne y$ en $[a,b]$ y por tanto, el recíproco $(E)$ del teorema del valor medio es en general falso.

Esta entrada fue publicada en Cálculo/Análisis. Guarda el enlace permanente.