$R$ dominio de integridad y no cuerpo, implica $R[x]$ no es dominio de ideales principales

Enunciado
Sea $R$ un dominio de integridad que no es un cuerpo. Demostrar que $R[x]$ no es un dominio de ideales principales.

Solución
Como $R$ es dominio de integridad que no es un cuerpo, existe $0\ne c\in R$ tal que $c$ no es invertible. Consideremos el ideal de $R,$ dado por $I=\langle c, x \rangle.$ Veamos por contradicción que $I$ no es ideal principal.

En efecto si $I$ es principal, existe $d(x)\in I$ tal que $I=\langle d(x) \rangle$ y por tanto $c\in \langle d(x) \rangle$ y $x\in \langle d(x) \rangle$ o de forma equivalente $d(x)\mid c$ y $d(x)\mid x.$ Dado que $d(x)\mid x,$ o bien $d(x)$ es una unidad, o bien $d(x)=ux$ con $u$ unidad. Dado que $d(x)$ también divide a $c,$ necesariamente $d(x)$ es unidad y por tanto $I=R[x].$ En consecuencia existen $p(x),q(x)\in R[x]$ tales que $$cp(x)+xq(x)=1.$$ Como el grado de $xq(x)$ es al menos $1,$ se verifica $cp_0=1$ siendo $p_0$ el término constante de $p(x).$ Es decir, $c$ es unidad (contradicción). Concluimos que $R[x]$ no es dominio de ideales principales.

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