Una acotación en un problema de valor inicial

Efectuamos unaa acotación de un problema de valor inicial en un intervalo cerrado.

Enunciado
Sea $x(t)$ la solución del problema de valor inicial $$x’=-x+\sin x,\quad x(0)=0.1.$$ Hallar un $T>0$ tal que en el intervalo $[0,T]$ se cumpla la desigualdad $\left|x(t)\right|\le 1.$

Solución
La ecuación diferencial es de la forma $x’=f(t,x)$ con $f(t,x)=-x+\sin x.$ La función $f$ es continua en $\mathbb{R}^2$ así como su derivada parcial $\dfrac{\partial f}{\partial x}=-1+\cos x.$ Además $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0.1)=-1+\cos 0.1\ne 0.$ Esto asegura la existencia de una única solución $x(t)$ definida en un intervalo $I$ que contiene a $0$ en su interior.

Expresemos la solución $x(t)$ del problema de valor inicial dado mediante su desarrollo de Maclaurin de orden $1$. Tenemos $$x(0)=0.1,\quad x'(0)=-x(0)+\sin x(0)=-0.1+\sin 0.1.$$ Por tanto, $$x(t)=x(0)+\frac{x'(0)}{1!}t+o(t)=0.1+(-0.1+\sin 0.1)t+o(t).$$ Dado que $\lim_{t\to 0}o(t)/t=0,$ existe un $K>0$ tal que $\left|o(t)\right|\le t$ en $(0,K],$ y por tanto, en este intervalo tenemos $$\left|x(t)\right|\le 0.1+(0.1-\sin 0.1)t+t=0.1+(1.1-\sin 0.1)t\le 1$$ $$\Leftrightarrow t\le \frac{0.9}{1.1-\sin 0.1}.$$ Basta por tanto elegir $$T=\min\left\{K,\frac{0.9}{1.1-\sin 0.1}\right\},$$ lo cual proporciona la acotación $\left|x(t)\right|\le 1$ en $[0,T].$