Inversa generalizada

Definimos el concepto de inversa generalizada y analizamos alguna de sus propiedades.

Enunciado
1. Sea $A$ una matriz (cuadrada o rectangular). Se dice que una matriz $G$ es una g-inversa (o inversa generalizada) de $A$ cuando $AGA=A$. Naturalmente que $G$ ha de ser de tipo $n\times m$ en el caso de ser $A$ del tipo $m\times n$. Si $A$ es cuadrada e invertible, entonces es fácil comprobar que la inversa $A^{-1}$ es (la única) g-inversa de $A$, de manera que el concepto de g-inversa es una generalización del concepto de inversa. Lo que sigue es, además de una prueba de evaluación una invitación al estudio de las matrices g-inversas.

(a) Cálculo de las g-inversas en un caso particular. Sea $\tilde{A}$ la matriz $m\times n$ que escrita por cajas presenta la forma

$\tilde{A}=\begin{bmatrix}{I_r}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}$

donde la submatriz $I_r$ es la matriz unidad de orden $r$, y siendo nulas las otras tres submatrices. Comprobar que la traspuesta $\tilde{A}^t$ es una g-inversa de $\tilde{A}$. Hallar todas las matrices $G$ que son g-inversas de $\tilde{A}$.

(b) Existencia de g-inversas. Si $A$ es una matriz $m\times n$ y de rango $r$, entonces se sabe (y el alumno lo puede admitir si no lo sabe) que existen matrices cuadradas e invertibles $P$ y $Q$ tales que $PAQ=\tilde{A}$, donde $\tilde{A}$ es precisamente la matriz del apartado anterior. Comprobar que $G=Q\tilde{A}P$ es una g-inversa de $A$. Esto demuestra que toda matriz $A$ posee alguna g-inversa, y en general no es única como se habrá comprobado en el apartado anterior.

(c) Relación de simetría. Comprobar que con los datos del apartado anterior $A$ es también g-inversa de $G$. Se pregunta si esto es general, es decir ¿si $G$ es g-inversa de $A$ , entonces $A$ es g-inversa de $G$ ? Dar una demostración o construir un contraejemplo.

2. Aplicación de las g-inversas al estudio de los sistemas de ecuaciones. Sea $G$ una g-inversa de $A$, y sea $Ax=b$ un sistema de ecuaciones, donde $A$ es la matriz $m\times n$ de coeficientes, $x$ es el vector columna $n\times 1$ de las incógnitas y $b$ es el vector columna $m\times 1$ de los términos independientes.

(a) Compatibilidad. Demostrar que la igualdad $AGb=b$ es condición necesaria para que el sistema sea compatible. ¿Es también condición suficiente? Dar una demostración o construir un contraejemplo.

(b) Resolución. Si el sistema es compatible, demostrar que $x=Gb+(I_n-GA)z$ es solución (donde $I_n$ es la matriz unidad de orden $n$, y $z$ es un vector columna $n\times 1$ arbitario).

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Montes, UPM).

Solución
1. (a) Veamos que $\tilde{A}^t$ es g-inversa de $\tilde{A}$ es decir que $\tilde{A}\tilde{A}^t \tilde{A}=\tilde{A}$. Para ello usamos la multiplicación por cajas. Escribimos en cada caso el orden de las matrices nulas que aparecen para comprobar que el producto por cajas tiene sentido

$$\tilde{A}\tilde{A}^t=\begin{bmatrix}{I_r}&{0_{r\times (n-r)}}\\{0_{(m-r)\times r}}&{0_{(m-r)\times (n-r)}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{I_r}&{0_{r\times (m-r)}}\\{0_{(n-r)\times r}}&{0_{(n-r)\times (m-r)}}\end{bmatrix}\\=
\begin{bmatrix}{I_r}&{0_{r\times (m-r)}}\\{0_{(m-r)\times r}}&{0_{(m-r)\times (m-r)}}\end{bmatrix}\;.$$

$$\tilde{A}\tilde{A}^t\tilde{A}=\begin{bmatrix}{I_r}&{0_{r\times (m-r)}}\\{0_{(m-r)\times r}}&{0_{(m-r)\times (m-r)}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{I_r}&{0_{r\times (n-r)}}\\{0_{(m-r)\times r}}&{0_{(m-r)\times (n-r)}}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}{I_r}&{0_{r\times (n-r)}}\\{0_{(m-r)\times r}}&{0_{(m-r)\times (n-r)}}\end{bmatrix}=\tilde{A}.$$
Hallemos ahora todas las matrices $G$ que son g-inversas de $\tilde{A}$. Si $G$ es g-inversa de $\tilde{A}$ entonces $G$ tiene orden $n\times m$ y podemos expresarla por cajas en la forma

$G=\begin{bmatrix}X_{r\times r}&{Y_{r\times (m-r)}}\\{Z_{(n-r)\times r}}&{T_{(n-r)\times (m-r)}}\end{bmatrix}$ o abreviadamente $G=\begin{bmatrix}{X}&{Y}\\{Z}&{T}\end{bmatrix}\;.$

Entonces, $G$ es g-inversa de $\tilde{A}$ si y sólo si $\tilde{A}G\tilde{A}=\tilde{A}$. Equivalentemente

$\begin{bmatrix}{I_r}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{X}&{Y}\\{Z}&{T}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{I_r}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{I_r}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\Leftrightarrow\\
\begin{bmatrix}{X}&{Y}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{I_r}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{I_r}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\Leftrightarrow \\\begin{bmatrix}{X}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{I_r}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\Leftrightarrow X=I_r.$

En consecuencia, todas las matrices g-inversas de $\tilde{A}$ son todas las matrices $n\times m$ de la forma $G=\begin{bmatrix}{I_r}&{Y}\\{Z}&{T}\end{bmatrix}$.

(b) Usando el apartado anterior tenemos

$AGA=A(Q\tilde{A}^tP)A=(AQ)\tilde{A}^t(PA)=\\(P^{-1}\tilde{A})\tilde{A}^t(\tilde{A}Q^{-1})=
P^{-1}(\tilde{A}\tilde{A}^t\tilde{A})Q^{-1}=\\P^{-1}\tilde{A}Q^{-1}=A.$

Es decir, $G=Q\tilde{A}^tP$ es g-inversa de $A$.

(c) Veamos que $A$ es g-inversa de $G$ , es decir $GAG=A$ . Tenemos

$GAG=(Q\tilde{A}^tP)A(Q\tilde{A}^tP)=(Q\tilde{A}^t)(PAQ)(\tilde{A}^tP),\\
Q(\tilde{A}^t\tilde{A}\tilde{A}^t)P=Q(\tilde{A}\tilde{A}^t\tilde{A})^tP=Q\tilde{A}P=G.$

El resultado no es general. Elijamos por ejemplo las matrices de órdenes $n\times n$ : $A=0$ (matriz nula) y $G=I$ (matriz unidad). Entonces

$AGA=0I0=0=A\;,\;GAG=I0I=0\neq G.$

Es decir, $G$ es g-inversa de $A$ pero $A$ no es g-inversa de $G$.

2. (a) Por hipótesis $AGA=A$. Si el sistema $Ax=b$ es compatible, existe $x_0\in \mathbb{R}^{n \times 1}$ tal que $Ax_0=b$. Entonces $Ax_0=b\Rightarrow AGAx_0=b\Rightarrow AGb=b$. La condición también es suficiente pues si $AGb=b$ entonces $x_0=Gb$ es solución del sistema.

(b) Tenemos

$A(Gb+(I_n-GA)z)=AGb+Az-AGAz=AGb+Az-Az=AGb=b,$

lo cual demuestra que todo vector de la forma $Gb+(I_n-GA)z$ es solución del sistema $Ax=b$.

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