Configuración de centro en un sistema autónomo

Enunciado
Se considera el sistema diferencial $X’=AX$, con $A=\begin{bmatrix}{1}&{-2}\\{1}&{-1}\end{bmatrix}.$ Se pide:
(a) Escribir la forma general de la solución para resolver el sistema con la condición inicial $X(0)=(1,0)^t.$
(b) Dibujar la órbita que pasa por el punto $(1,0).$
(c) Calcular la matriz exponencial  $\exp\; (tA).$

Solución
(a) El polinomio característico de $A$ es $\lambda^2+1=0$ y por tanto los valores propios son $\lambda=\alpha\pm \beta i=\pm i.$ El subespacio propio asociado al valor propio $i,$ y una base del mismo son:
$$V_i\equiv \left \{ \begin{matrix}(1-i)x_1-2x_2=0\\x_1+(-1-i)x_2=0,\end{matrix}\right.\qquad B_i=\{(1+i,1)^t\}.$$ Como $A$ es real, una base de $V_{-i}$ es $B_{-i}=\{(1-i,1)^t\}.$ Este vector lo podemos expresar en la forma $(1-i,1)^t=U+iV$ con $U=(1,1)^t$ y $V=(-1,0)^t.$ Por un conocido teorema, si $P=[U\;,\;V],$ entonces: $$P^{-1}AP=\begin{bmatrix}{\alpha}&{-\beta}\\{\beta}&{\;\;\alpha}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{-1}\\{1}&{\;\;0}\end{bmatrix}.$$ y el cambio $X=PX^*$ proporciona las soluciones: $$\begin{bmatrix}{x_1^*}\\{x_2^*}\end{bmatrix}=e^{\alpha t}\begin{bmatrix}{\cos \beta t}&{-\sin \beta t}\\{\sin \beta t}&{\;\;\cos \beta t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{b_1}\\{b_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\cos t}&{-\sin t}\\{\sin t}&{\;\;\cos t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{b_1}\\{b_2}\end{bmatrix}.$$ Para $X=(1,0)^t$ tenemos: $$X=PX^*\Leftrightarrow \begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{\;\;0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1^*}\\{x_2^*}\end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix}{x_1^*}\\{x_2^*}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\;\;0}\\{-1}\end{bmatrix}.$$
Es decir, la solución que cumple que cumple la condición inicial $X(0)=(1,0)^t$ es: $$\begin{bmatrix}{x_1^*}\\{x_2^*}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\;\;\sin t}\\{-\cos t}\end{bmatrix}\quad (t\in\mathbb{R}).$$ (b)  La órbita que pasa por $(1,0)$ es una circunferencia de centro el origen y radio $1$ en el plano $x_1^*x_2^*$ recorrida en sentido antihorario:

El cambio $X=PX^*$ proporciona la correspondiente elipse en el plano $x_1x_2$.

(c)  La matriz $Q$ cuyas columnas son los vectores propios verifica $Q^{-1}AP=D$ con $D=\mbox{diag}(i,-i),$ por tanto: $$e^{tA}=Qe^{tD}Q^{-1}=\begin{bmatrix}{1+i}&{1-i}\\{1}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{e^{it}}&{0}\\{0}&{e^{it}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1+i}&{1-i}\\{1}&{1}\end{bmatrix}^{-1}$$ $$=\begin{bmatrix}{\cos t}&{-2\sin t}\\{\sin t}&{-\sin t+\cos t}\end{bmatrix}.$$

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