Función entera que es polinómica

Proporcionamos una condición suficiente para que una función entera sea polinómica.

Enunciado
Sea  $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ una función entera tal que existen $\alpha >0,$ $K>0$ cumpliendo $$\left|f(z)\right|\le K\left(1+\left|z\right|\right)^{\alpha},\quad \forall z\in\mathbb{C}.$$ Demostrar que $f(z)$ es un polinomio de grado a lo sumo $\alpha.$

Solución
Como  $f$ es entera, se puede escribir en la forma $$f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n,\quad a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.$$ Usando la fórmula integral de Cauchy, $$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\left|z\right|=R}\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz.$$ Tomando módulos, $$0\le\left|a_n\right|=\left|\frac{1}{2\pi i}\int_{\left|z\right|=R}\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz\right|\le \frac{1}{2\pi} \frac{K\left(1+R\right)^{\alpha}}{R^{n+1}}2\pi R=\frac{K\left(1+R\right)^{\alpha}}{R^{n}}.$$ Si $n>\alpha $ y tomando límites cuando $R\to +\infty$ $$0\le \left|a_n\right|\le \lim_{R\to +\infty}\frac{K\left(1+R\right)^{\alpha}}{R^{n}}=0,$$ es decir $a_n=0.$ Es decir $f(z)=\sum_{n=0}^da_nz^n$ es función polinómica, siendo $d=\lfloor \alpha \rfloor$ (parte entera de $\alpha$).

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