$A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales

Demostramos que dos matrices reales semejantes como complejas, lo son como reales. Aplicamos éste resultado para dar una forma canónica de una matriz cuadrada cuyo cuadrado es la opuesta de la identidad.

Enunciado
1.  Sean $A$ y $B$ matrices cuadradas, reales y semejantes como matrices complejas. Demostrar que también son semejantes como matrices reales.
2.  Aplicación. Demostrar que si $X$ es una matriz real cuadrada tal que $X^2=-I,$ entonces, para algún $n$ entero positivo, $$X=PJP^{-1}\text{ con }J=\begin{bmatrix}{0}&{-I_n}\\{I_n}&{\:\;0}\end{bmatrix}.$$ donde $P$ es una matriz real no singular e $I_n$ la matriz identidad de orden $n.$

Solución
1.  Si $A$ y $B$ son semejantes como matrices complejas, existe una matriz compleja $P$ invertible tal que $B=P^{-1}AB.$ Expresemos $P=Q+iR$ en donde $Q$ y $R$ son reales. Tenemos las equivalencias $$B=P^{-1}AP\Leftrightarrow PB=AP\Leftrightarrow (Q+iR)B=A(Q+iR)$$ $$\Leftrightarrow QB+iRB=AQ+iAR\Leftrightarrow QB=AQ\;\wedge\;RB=AR.$$ Por tanto, para todo $\lambda$ real o complejo se verifica $$(Q+\lambda R)B=A(Q+\lambda R).\qquad(*)$$ El polinomio $\phi(\lambda)=\det (Q+\lambda R)$ es polinomio con coeficientes reales y además no tiene nulos todos sus coeficientes pues $\phi (i)=\det (Q+iR)=\det P\ne 0.$ Esto implica que existen valores reales de $\lambda$ tales que $\phi (\lambda)\ne 0.$ Sea $\lambda_0$ uno de estos valores y consideremos la matriz $S=Q+\lambda_0R.$ Esta matriz es real, invertible y  verifica según $(*)$ que $B=S^{-1}AS$ i.e.  $A$ y $B$ son semejantes como matrices reales.

2.  Dado que $X^2+I=0,$ un polinomio anulador de $X$ es $p(\lambda)=\lambda^2+1,$ luego el polinomio mínimo $\mu(\lambda)$ de $X$ divide a $p(\lambda).$ Como $p$ y $\mu$ han de tener los mismos factores irreducibles en $\mathbb{R}[\lambda],$ necesariamente $\mu(\lambda)=\lambda^2+1,$ por tanto y los valores propios de $X$ como matriz compleja son $\pm i$ y al ser $X$ es real, aparecen con la misma multiplicidad.
Dado que $\mu(\lambda)$ se descompone en factores lineales en   $\mathbb{C}[\lambda],$  $X$ es diagonalizable en $\mathbb{C}$ y semejante a la matriz diagonal $D=\text{diag}(iI_n,-iI_n).$  Por otra parte $$J^2=\begin{bmatrix}{0}&{-I_n}\\{I_n}&{\:\;0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{-I_n}\\{I_n}&{\:\;0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{-I_n}&{\:\;0}\\{\;\;0}&{-I_n}\end{bmatrix}=-I,$$ luego $J$ es semejante a $D$ y por tanto $J$ es semejante a $X$ (como matrices complejas). Del apartado anterior deducimos que existe $P$ real e invertible tal que $X=PJP^{-1}.$

Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.