$A$ y $B$ matrices reales y semejantes como complejas, lo son como reales

Enunciado
(i)  Sean $A$ y $B$ matrices reales y semejantes como matrices complejas. Demostrar que también son semejantes como matrices reales.
(ii)  Aplicación. Demostrar que si $X$ es una matriz real tal que $X^2=-I,$ entonces, para algún $n$ entero positivo, $$X=PJP^{-1}\text{ con }J=\begin{bmatrix}{0}&{-I_n}\\{I_n}&{\:\;0}\end{bmatrix}.$$ donde $P$ es una matriz real no singular e $I_n$ la matriz identidad de orden $n.$

Solución
(i)  Si $A$ y $B$ son semejantes como matrices complejas, existe una matriz compleja $P$ invertible tal que $B=P^{-1}AB.$ Expresemos $P=Q+iR$ en donde $Q$ y $R$ son reales. Tenemos las equivalencias $$B=P^{-1}AP\Leftrightarrow PB=AP\Leftrightarrow (Q+iR)B=A(Q+iR)$$ $$\Leftrightarrow QB+iRB=AQ+iAR\Leftrightarrow QB=AQ\;\wedge\;RB=AR.$$ Por tanto, para todo $\lambda$ real o complejo se verifica $$(Q+\lambda R)B=A(Q+\lambda R).\qquad(*)$$ El polinomio $\phi(\lambda)=\det (Q+\lambda R)$ es polinomio con coeficientes reales y además no tiene nulos todos sus coeficientes pues $\phi (i)=\det (Q+iR)=\det P\ne 0.$ Esto implica que existen valores reales de $\lambda$ tales que $\phi (\lambda)\ne 0.$ Sea $\lambda_0$ uno de estos valores y consideremos la matriz $S=Q+\lambda_0R.$ Esta matriz es real, invertible y  verifica según $(*)$ que $B=S^{-1}AS$ i.e.  $A$ y $B$ son semejantes como matrices reales.

(ii)  Dado que $X^2+I=0,$ un polinomio anulador de $X$ es $p(\lambda)=\lambda^2+1,$ luego el polinomio mínimo $\mu(\lambda)$ de $X$ divide a $p(\lambda).$ Como $p$ y $\mu$ han de tener los mismos factores irreducibles en $\mathbb{R}[\lambda],$ necesariamente $\mu(\lambda)=\lambda^2+1,$ por tanto y los valores propios de $X$ como matriz compleja son $\pm i$ y al ser $X$ es real, aparecen con la misma multiplicidad.

Dado que $\mu(\lambda)$ se descompone en factores lineales en   $\mathbb{C}[\lambda],$  $X$ es diagonalizable en $\mathbb{C}$ y semejante a la matriz diagonal $D=\text{diag}(iI_n,-iI_n).$  Por otra parte $$J^2=\begin{bmatrix}{0}&{-I_n}\\{I_n}&{\:\;0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{-I_n}\\{I_n}&{\:\;0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{-I_n}&{\:\;0}\\{\;\;0}&{-I_n}\end{bmatrix}=-I,$$ luego $J$ es semejante a $D$ y por tanto $J$ es semejante a $X$ (como matrices complejas). Del apartado anterior deducimos que existe $P$ real e invertible tal que $X=PJP^{-1}.$

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