Matrices mágicas

Estudiamos propiedades de las matrices mágicas.

Enunciado
Todas las matrices con las que trabajamos en este problema serán matrices  $3\times 3$  con elementos  $a_{ij}$  reales. Una tal matriz se dice que es mágica sí y sólo si son iguales la ocho sumas: $$a_{i1}+a_{i2}+a_{i3},\quad a_{1j}+a_{2j}+a_{3j},\quad a_{11}+a_{22}+a_{33},\quad a_{31}+a_{22}+a_{13}$$ para todo  $i,j=1,2,3$. Es decir, si es común la suma de los elementos cada fila, de cada columna y de cada una de las diagonales.

Se consideran las matrices: $$A=\begin{bmatrix}{-1}&{\;\;2}&{-1}\\{\;\;0}&{\;\;0}&{\;\;0}\\{\;\;1}&{-2}&{\;\;1}\end{bmatrix}\;,\quad B=A^t\;,\quad C=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{bmatrix}\;.$$ 1. Demostrar que cualquier matriz  $M$  es la suma de una  simétrica  $M_1$  y de una antisimétrica  $M_2$  y que esta descomposición es única.
2. Demostrar que la suma de dos matrices mágicas es mágica, que la traspuesta de una matriz mágica es mágica y que el producto de un escalar por una matriz mágica es mágica. Demostrar que si  $M$  es mágica también lo son  $M_1$  y  $M_2$. Verificar que  $A,B,C$  son mágicas.
3. Contruir todas las matrices mágicas antisimétricas.
4. Construir todas las matrices mágicas simétricas, comenzando por estudiar el caso en el que la suma común es nula.
5. Construir todas las matrices mágicas. Demostrar que forman un espacio vectorial sobre  $\mathbb{R}$. ¿Cúal es la dimensión de este espacio?
6. Calcular  $A^2,B^2,C^2,AC,BC,CA,CB$. Demostrar que  $AB+BA$  es combinación lineal de  $C$  y de  $I$.
7. ¿Cúal es la condición necesaria y suficiente para que el producto de dos matrices mágicas sea mágica?. Determinar todas las matrices mágicas que son producto de dos mágicas.
8. Demostrar que el producto de una matriz mágica por una combinación lineal de $I$ y de  $C$  es mágica.
9. Demostrar que las potencias pares de una matriz mágica no son matrices mágicas (salvo un caso particular a precisar), pero las potencias impares de una matriz mágica son siempre mágicas.
10. ¿Cuando una matriz mágica es invertible? En su caso hallar la inversa ¿Es la inversa una matriz mágica? Estudiar si son mágicas las potencias negativas de una matriz mágica.

Solución
1. Supongamos que  $M$  se puede descomponer en la forma  $M=M_1+M_2$  con $M_1$ simétrica y  $M_2$  antisimétrica. Transponiendo: $$M=M_1+M_2,\\ M^t=M_1-M_2.$$ Resolviendo, obtenemos necesariamente: $$M_1=\dfrac{1}{2}(M+M^t),\quad M_2=\dfrac{1}{2}(M-M^t).$$ Es claro que  $M=M_1+M_2$. Veamos que la matriz  $M_1$  es simétrica y que  $M_2$  es antisimétrica: $$M_1^t=[(1/2)(M+M^t)]^t=(1/2)[M^t+(M^t)^t]=(1/2)[M^t+M]=M_1,\\M_2^t=[(1/2)(M-M^t)]^t=(1/2)[M^t-(M^t)^t]=(1/2)[M^t-M]=-M_2.$$ 2. La verificación de estas propiedades es inmediata a partir de la definición de matriz mágica. Claramente  $A,B,C$  son mágicas.

3. Cualquier matriz antisimétrica  $M_2$  de orden  $3\times 3$  es de la forma: $$M_2=\begin{bmatrix}{\;\;0}&{-\gamma}&{\;\;\beta}\\{\;\;\gamma}&{\;\;0}&{-\alpha}\\{-\beta}&{\;\;\alpha}&{\;\;0}\end{bmatrix}\quad (\alpha,\beta,\gamma \in{\mathbb{R}}).$$ La matriz será mágica sí, y solamente si: $$\beta-\gamma=\gamma-\alpha=\alpha-\beta=\gamma-\beta=\alpha-\gamma=\beta-\alpha=0.$$ Resolviendo el sistema obtenemos: $$M_2=\lambda\begin{bmatrix}{\;\;0}&{\;\,1}&{-1}\\{-1}&{\;\;0}&{\;\;1}\\{\;\;0}&{-1}&{\;\;0}\end{bmatrix}\quad (\lambda \in{\mathbb{R}}).$$

4. Escribiendo una matriz simétrica mágica, obligando que tenga suma común cero y resolviendo el correspondiente sistema, obtenemos las matrices de la forma: $$\mu \begin{bmatrix}{\;\;1}&{-1}&{\;\;0}\\{-1}&{\;\;0}&{\;\;1}\\{\;\;0}&{\;\;1}&{-1}\end{bmatrix}\quad (\mu \in{\mathbb{R}}).$$ Las matrices mágicas simétricas de suma común  $s$  se obtendrán sumando  $s/3$  a cada elemento de las matrices encontradas anteriormente. Llamando  $\nu=s/3$  obtenemos la forma de todas las matrices mágicas simétricas: $$M_1=\mu \begin{bmatrix}{\;\;1}&{-1}&{\;\;0}\\{-1}&{\;\;0}&{\;\;1}\\{\;\;0}&{\;\;1}&{-1}\end{bmatrix}+\nu \begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{bmatrix}\quad (\mu,\nu \in{\mathbb{R}}).$$

5. Toda matriz mágica es de la forma  $M=M_1+M_2$ : $$M=\lambda\begin{bmatrix}{\;\;0}&{\;\,1}&{-1}\\{-1}&{\;\;0}&{\;\;1}\\{\;\;0}&{-1}&{\;\;0}\end{bmatrix}+\mu \begin{bmatrix}{\;\;1}&{-1}&{\;\;0}\\{-1}&{\;\;0}&{\;\;1}\\{\;\;0}&{\;\;1}&{-1}\end{bmatrix}+\nu \begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{bmatrix}\\=\dfrac{1}{2}(\lambda-\mu)A-\dfrac{1}{2}(\lambda+\mu)B+\nu C=\alpha A+\beta B+\nu C$$ Denominando por  $\mathcal{M}$  al conjunto de todas las matrices mágicas, hemos demostrado que  $\mathcal{M}=L[A,B,C]$. Esto implica que  $\mathcal{M}$  es subespacio de  $\mathbb{R}^{3\times 3}$. Es fácil demostrar que  $\left\{{A,B,C}\right\}$  es sistema libre, en consecuencia es base de  $\mathcal{M}$  y por tanto  $\dim \mathcal{M}=3$.

6. Operando obtenemos: $$A^2=B^2=AC=CA=BC=CB=0,\;C^2=3C,\;AB+BA=12I-4C.$$

7. Usando la base  $\left\{{A,B,C}\right\}$  y los resultados del apartado anterior podemos escribir la forma del producto de dos matrices mágicas: $$(\alpha A+\beta B+\gamma C)(\lambda A+\mu B+\nu C)=\ldots\\=3\gamma \nu C+\begin{bmatrix}{2\beta \lambda+6\alpha\mu}&{-4\beta\lambda}&{2\beta\lambda-6\alpha\mu}\\{-4\beta\lambda}&{8\beta\lambda}&{ -4\beta\lambda}\\{2\beta\lambda-6\alpha\mu}&{-4\beta\lambda}&{2\beta\lambda+6\alpha\mu}\end{bmatrix}.$$ La matriz  $3\gamma\nu C$  es mágica. Obligando a que el segundo sumando sea matriz mágica obtenemos  $(12\beta\lambda +12\alpha\mu=0)\;\wedge \;(12\beta\lambda -12\alpha\mu=0)$  con lo cual el producto de dos matrices mágicas es mágica sí y solamente si  $\beta\lambda=0$  y  $\alpha\mu=0$  son nulos. Tenemos: $$\alpha=\beta=0 \Rightarrow \gamma C(\lambda A+\mu B +\nu C)=3\gamma \nu C,\\
\alpha=\lambda=0 \Rightarrow (\beta B+\gamma C)(\mu B+\nu C)=3\gamma \nu C,\\
\beta=\mu=0 \Rightarrow (\alpha A+\gamma C)(\lambda A +\nu C)=3\gamma \nu C,\\
\lambda=\mu=0 \Rightarrow \gamma C(\alpha A+\beta B+\gamma C)=3\gamma \nu C.$$ En consecuencia, las únicas matrices mágicas que son producto de dos mágicas son las de la forma  $\eta C$  con  $\eta \in\mathbb{R}$.

8. Toda matriz mágica es de la forma  $\alpha A+ \beta B+ \gamma C$  y toda combinación lineal de  $I$  y de  $C$  de la forma  $\alpha’I+ \beta’ C.$  Multiplicando: $$(\alpha A+ \beta B+ \gamma C)(\alpha’I+ \beta’ C)=\alpha\alpha’A+ \beta  \beta’B+( \gamma \alpha’+3 \gamma  \beta’ )C,$$ es decir, el producto es una matriz mágica.

9. El cuadrado de una matriz mágica  $M$  es  $M^2=(\alpha A+ \beta B+ \gamma C)^2
$. Del apartado 7 deducimos que  $M^2$  es mágica sí y solamente si,  $\alpha\beta = 0$. Calculando  $M^2$  obtenemos: $$M^2=\ldots=12\alpha \beta I+ (3 \gamma^2-4\alpha \beta)C. $$ $M^3$  es el producto de una mágica ( $M$ ) por una combinación lineal de  $I$  y de  $C$  ( $M^2$ ). Por el apartado 8 concluimos que  $M^3$  es mágica. Por recurrencia obtenemos: $$M^{2n-1}\text{ mágica }\Rightarrow M^{2n}=hI+kC\;\Rightarrow M^{2n+1}\text{ mágica}.$$ Si  $\alpha\beta=0$ entonces  $M^n=3^{n-1}\gamma^nC$, que es mágica. Para  $\alpha\beta\neq 0$ obtenemos: $$M^{2n}= (12\alpha \beta)^nI+(1/3)[(3 \gamma)^{2n}-(12\alpha  \beta)^n]C,\\
M^{2n+1}= (12\alpha \beta)^n(\alpha A+ \beta B)+ \gamma (3 \beta)^nC.$$

10. Operando obtenemos  $\det (M)=-36\alpha\beta\gamma$, entonces  $M$  es invertible sí y solamente si los escalares  $\det (M)\alpha,\beta,\gamma$  son no nulos. Calculando obtenemos: $$M^{-1}=\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{3}{ \beta}A+\dfrac{3}{\alpha }B+\dfrac{4}{ \gamma}C\right)=\alpha’ A+ \beta’B+ \gamma’C,$$ que es una matriz mágica. Dado que  $\alpha’\beta’\neq 0$  los resultados del apartado 9 se mantienen: $$M^{-2p}=(M^{-1})^{2p} \text{ no es mágica y }M^{-(2p+1)}=(M^{-1})^{2p+1}\text{ es mágica.}$$

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