Continuidad uniforme en espacios métricos por sucesiones

Demostramos un teorema de caracterización de la continuidad uniforme en espacios métricos, por sucesiones y damos un ejemplo de aplicación.

Enunciado
Sean $(X,d)$, $(Y,d’)$ dos espacios métricos y $f:X\to Y$ una aplicación.
1. Demostrar que las dos siguientes afirmaciones son equivalentes:
   $(i)$ $f$ es uniformemente continua.
   $(ii)$ Para todo par de sucesiones $(x_n),$ $(x’_n)$ de $X$ con $d(x_n,x’_n)\to 0$ se verifica $d’\left(f(x_n),f(x’_n)\right)\to 0.$
2. Se considera la función $$f:\mathbb{R^2}\to \mathbb{R},\quad f(x,y)=x^2+y^2.$$ Demostrar que no es uniformemente continua con las métricas usuales, eligiendo para ello las sucesiones $(x_{n},y_{n}) = (n,0)$ y $(x_{n}’,y_{n}’) = (n + 1/n,0).$
3. Se considera la función $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x)=3x-7.$$ Demostrar que es uniformemente continua con la métrica usual.

Solución
1. $(i)\Rightarrow (ii).$ Si $f$ es uniformemente continua, para todo $\epsilon >0$ existe un $\delta>0$ tal que si $x,x’\in X$ con $d(x,x’)<\delta,$ se verifica $d’\left(f(x),f(x’)\right)<\epsilon.$ Si $d(x_n,x’_n)\to 0$, existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que si $n\geq n_0$ entonces $d(x_n,x’_n)<\delta$, luego $d’\left(f(x_n),f(x’_n)\right)<\epsilon$. Es decir, $d’\left(f(x_n),f(x’_n)\right)\to 0$.$(ii)\Rightarrow (i).$ Si $f$ no es uniformemente continua, existe $\epsilon_0>0$ tal que para cada $\delta>0$ existen puntos $x,x’\in X$ (que dependen de $\delta$) verificando $d(x,x’)<\delta$ pero $d’\left( f(x),f(x’)\right)\geq \epsilon_0$.
   Si para cada $n=1,2,\ldots$ elegimos $\delta=1/n$, tenemos construidas un par de sucesiones $(x_n)$ y $(x’_n)$ de puntos de $X$ tales que $d\left(x_n,x’_n\right)<1/n$ (y por tanto $d(x_n,x’_n)\to 0$) pero $d\left(f(x_n),f(x’_n)\right)\geq \epsilon_0$ (y por tanto $d’\left (f(x_n),f(x’_n)\right )$ no tiende a $0$).
2. Tenemos $$d\left[(x_{n},y_{n}),(x_{n}’,y_{n}’)\right]=\left\|(x_{n},y_{n})-(x_{n}’,y_{n}’)\right\|=\left\|(-1/n,0)\right\|=\sqrt{1/n^2}=1/n\to 0,$$ $$d’\left[f(x_n,y_n),f(x’_n,y’_n)\right]=d'(n^2,n^2+2+1/n^2)=\left|-2-1/n^2\right|\to -2\ne 0,$$ por tanto $f$ no es uniformemente continua.
3. Sean $(x_n)$ y $(x’_n)$ dos sucesiones de números reales. Entonces, $$d(x_n,x’_n)\to 0\Rightarrow \left|x_n-x’_n\right|\to 0\Rightarrow \left|f(x_n)-f(x’_n)\right|=\left|3x_n-7-(3x’_n-7)\right|$$ $$=3\left|x_n-x’_n\right|\to3\cdot 0=0\Rightarrow d\left(f(x_n),f(x’_n)\right)\to 0,$$ por tanto $f$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}.$