Máquina quitanieves

Enunciado
Una máquina quitanieves desplaza un volumen de $V$ $(\text{m}^3/\text{ hora}),$ barriendo una anchura $a$ (m) de la carretera. Su velocidad cuando avanza por la carretera varía según la cantidad de nieve precipitada para mantener $V$ constante en el tiempo. Nieva regularmente, de manera que la altura de nieve crece a razón de $r$ (m/hora). Despues de empezar a nevar, la máquina empieza la limpieza de la carretera en $t=0$ (horas). Se pide:

(a)  Plantear la ecuación diferencial que satisface la longitud de carretera $x(t)$ (Km) limpiada por la máquina. Determinar la solución.
(b)  En la primera hora de trabajo, la máquina ha limpiado $2$ Km de carretera y en la segunda hora ha avanzado $1$ Km más. Si la máquina empezó la limpieza a las 12 h del mediodía, determinar en qué momento empezó a nevar.

Solución
(a)  La máquina empieza a funcionar en el instante $t=0,$ en consecuencia empezó a nevar en el instante $t=t_0$ ($t_0<0).$ Llamemos $h(t)$ a la altura de la nieve en la carretera en el instante $t,$ y sea $h_0=h(0)$ la altura inicial, es decir cuando la máquina empieza a funcionar. Teniendo en cuenta que nieva regularmente, se verifica $h(t)=h_0+rt.$ Como la máquina mantiene constante el volumen de nieve quitado, se verifica $$x’(t)=\frac{V}{ah(t)},\text{ o bien } x’(t)=\frac{V}{a}\frac{1}{h_0+rt},$$ que es la ecuación diferencial que verifica $x(t).$ Integrando obtenemos $$x(t)=\frac{V}{a}\int \frac{dt}{h_0+rt}=\frac{V}{ar}\log \left(h_0+rt\right) +C\quad (C\text{ constante).}$$ Usando la condición inicial $x(0)=0,$  $$0=\frac{V}{ar}\log h_0 +C,$$ con lo cual $$x(t)=\frac{V}{ar}\left(\log \left(h_0+rt\right)-\log h_0\right)=\frac{V}{ar}\log\left(1+\frac{rt}{h_0}\right).$$ (b)  Utilizando las condiciones iniciales, $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x(1)=2\\& x(2)=3 \end{aligned}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \frac{V}{ar}\log\left(1+\frac{r}{h_0}\right)=2\\& \frac{V}{ar}\log\left(1+\frac{2r}{h_0}\right)=3 \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow 3\log\left(1+\frac{r}{h_0}\right)=2\log\left(1+\frac{2r}{h_0}\right)\Rightarrow 1+\frac{2r}{h_0}=\left(1+\frac{r}{h_0}\right)^{3/2}.$$ Llamando $A=r/h_0$ y elevando al cuadrado, obtenemos $(1+2A)^2=(1+A)^3$ o bien $$A(A^2-A-1)=0,\quad A=0,\;A=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}.$$ Como $A$ es positivo, sólo tiene sentido la solución $A=(1+\sqrt{5})/2.$ De la igualdad $h(t)=h_0+rt$ obtenemos $0=h_0+rt_0,$ con lo cual $t_0=-h_0/r.$ Por tanto $$A=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}=\frac{r}{h_0}=-\frac{1}{t_0}\Rightarrow t_0=-\frac{2}{1+\sqrt{5}}\approx -0.61.$$ Es decir, empezo a llover aproximadamente las 11.39 h de la mañana, que son (aproximadamente) las 11 h 23 m de la mañana.

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