Fórmula integral de Cauchy y matriz exponencial

Relacionamos la fórmula integral de Cauchy con la matriz exponencial.

Enunciado
La fórmula integral de Cauchy se puede generalizar a matrices de la siguiente manera $$f(M)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\gamma}f(z)(zI-M)^{-1}\;dz,$$ donde $\gamma$ es la circunferencia $|z|=r,$ $I$ es la matriz identidad y todos los autovalores de $zI-M$ están en el interior de $\gamma.$

$(a)$ Calcular las integrales complejas $$I_1(t)=\displaystyle\int_{|z|=r}\displaystyle\frac{ze^z\; dz}{z^2+t^2},\;I_2(t)=\displaystyle\int_{|z|=r}\displaystyle\frac{te^z\; dz}{z^2+t^2}\quad (t\in\mathbb{R},\;|t|<r).$$ $(b)$ Si $A$ es la matriz $A=\begin{pmatrix}{\;\;2}&{\;\;5}\\{-1}&{-2}\end{pmatrix},$ calcular $f(tA)=e^{tA}.$

(Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
$(a)$ Hallemos $I_1(t),$ Si $t\neq 0,$ las singularidades son $z=\pm ti$ (polos simples). Los residuos en estos polos son $$\textrm{Res}\;[f,ti]=\displaystyle\lim_{z \to ti}\dfrac{ze^z(z-ti)}{(z-ti)(z+ti)}=\dfrac{tie^{ti}}{2ti}=\dfrac{e^{ti}}{2},$$ $$
\textrm{Res}\;[f,-ti]=\displaystyle\lim_{z \to -ti}\dfrac{ze^z(z+ti)}{(z-ti)(z+ti)}=\dfrac{-tie^{-ti}}{-2ti}=\dfrac{e^{-ti}}{2}.$$ Aplicando el teorema de los residuos de Cauchy $$I_1(t)=2\pi i\left(\dfrac{e^{it}}{2}+\dfrac{e^{-it}}{2}\right)=2\pi i\cos t.\quad (1)$$ Si $t= 0,$ tenemos $I_1(0)=\int_{|z|=r}e^zdz/z=2\pi i e^0=2\pi i$ (fórmula integral de Cauchy), por tanto también es válida la igualdad (1) en este caso. Procedemos de manera análoga para $I_2(t):$ $$\textrm{Res}\;[f,ti]=\displaystyle\lim_{z \to ti}\dfrac{te^z}{z+ti}=\dfrac{te^{ti}}{2ti}=\dfrac{e^{ti}}{2i},$$ $$
\textrm{Res}\;[f,-ti]=\displaystyle\lim_{z \to -ti}\dfrac{te^z}{z-ti}=\dfrac{-te^{-ti}}{-2ti}=-\dfrac{e^{-ti}}{2i},$$ $$
I_2(t)=2\pi i\left(\dfrac{e^{it}}{2i}-\dfrac{e^{-it}}{2i}\right)=2\pi i\sin t.\quad (2)$$ Si $t=0,$ tenemos trivialmente $I_2(0)=0$, por tanto también es válida la igualdad (2) en este caso.

$(b)$ Llamando $M=tA:$ $$zI-M=zI-tA=\begin{bmatrix}{z-2t}&{-5t}\\{t}&{z+2t}\end{bmatrix},$$ $$(zI-M)^{-1}=\dfrac{1}{z^2+t^2}\begin{bmatrix}{z+2t}&{5t}\\{-t}&{z-2t}\end{bmatrix}.$$ Usando los resultados del apartado anterior $$e^{tA}=f(tA)=\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\gamma}\frac{e^z}{z^2+t^2}\begin{bmatrix}{z+2t}&{5t}\\{-t}&{z-2t}\end{bmatrix}dz$$ $$=\dfrac{1}{2\pi i}\begin{bmatrix}{2\pi i\cos t +4\pi i\sin t}&{10 \pi i\sin t}\\{-2\pi i \sin t}&{2\pi i\cos t -4\pi i\sin t}\end{bmatrix}$$ $$=\begin{bmatrix}{\cos t +2\sin t}&{5\sin t}\\{-\sin t}&{2\cos t -2\sin t}\end{bmatrix}.$$

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