Cardinal de un cuerpo finito

Demostramos que el cardinal de un cuerpo finito $K$ es de la forma $p^n,$ siendo $p$ la característica de $K$ y $n$ un cierto natural.

Enunciado
(a) Sean $K/k$ una extensión de cuerpos de grado $[K:k]=n$ y $\text{card }k=q.$ Demostrar que $\text{card }K=q^n$
(b) Sea $K$ un cuerpo finito de característica $p$. Demostrar que $\text{card }K=p^n$ para un cierto natural $n.$
(c) ¿Existe algún cuerpo con 6 elementos?
(d) Costruir un cuerpo con 25 elementos.

Solución
(a) Sea $B=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$ una base de $K$ como espacio vectorial sobre $k.$ Si $\lambda\in k,$ entonces $\lambda$ se puede escribir de forma única como $$\lambda=\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_n\alpha_n\text{ con }\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in k.$$ Como cada $\lambda_i$ puede ser uno de los $q$ elementos de $k,$ el número de elementos de $k$ es $\text{card }k=\underbrace{q\cdot \ldots\cdot q}_{n}=q^n.$

(b) Si $K$ tiene característica $p,$ sabemos que existe un subcuerpo $k$ de $K$ que es isomorfo a $\mathbb{Z}_p.$ Pero la extensión $K/k$ es finita, digamos de grado $n.$ Por el apartado anterior, $\text{card }K=p^n.$

(c) Claramente, 6 no se puede expresar en la forma $p^n,$ en consecuencia no existe tal cuerpo.

(d) Ver Cuerpo con 25 elementos (vídeo).

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