Funciones monótonas, crecientes y decrecientes

Estudiamos propiedades de las funciones monótonas, crecientes y decrecientes.

Enunciado
1. Definir los conceptos de función creciente, decreciente, estrictamente creciente, estrictamente decreciente y monótona para una función real de variable real.
2. Demostrar que la función $f:[0,+\infty)\to \mathbb{R},$ $f(x)=x^3$ es estrictamente creciente.
3. Sea $f:A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función. Demostrar que $$f\text{ es creciente}\Leftrightarrow -f\text{ es decreciente.}$$
4. Sea $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ creciente. Demostrar que para todo $c\in (a,b)$ existen $$f(c+)=\lim_{x\to c^+}f(x),\quad f(c-)=\lim_{x\to c^-}f(x)$$ y además $f(c-)\le f(c)\le f(c+).$ Demostrar que en los puntos extremos se satisface $f(a)\le f(a+)$ y $f(b-)\le f(b).$
   Nota. Naturalmente, se obtiene un teorema análogo para funciones decrecientes usando el apartado tercero.
5. Sea $f:A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ estrictamente creciente. Demostrar que existe la aplicación inversa $f^{-1}:f(A)\to A$ y es estrictamente creciente.
   Nota. Naturalmente, se obtiene un teorema análogo para funciones estrictamente decrecientes usando el apartado tercero.
6. Sea $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ una función creciente y la partición de $[a,b]:$ $$a=x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n=b.$$ Demostrar la desigualdad $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left[f(x_k+)-f(x_k-)\right]\le f(b)-f(a).$$ 7. Sea $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ monótona. Demostrar que el conjunto de los puntos de discontinuidad de $f$ es contable.

Solución
1. Sea $f:A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función. Se dice que $f$ es creciente sii para todo $x_1,x_2\in A$ con $x_1$ $<$ $x_2$ se verifica $f(x_1)\leq f(x_2),$ y se dice que es decreciente sii para todo $x_1,x_2\in A$ con $x_1$ $<$ $x_2$ se verifica $f(x_1)\ge f(x_2).$
   Si las desigualdades anteriores se cambian por desigualdades estrictas se dice que $f$ es estrictamente creciente y estrictamente decreciente respectivamente. Se dice que $f$ es monótona si es creciente o decreciente.
2. Para $0\le x_1$ $<$ $x_2$ tenemos $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{x_2^3-x_1^3}{x_2-x_1}=\frac{(x_2-x_1)(x_2^{2}+x_2x_1^2+x_1^{2})}{x_2-x_1}$$ $$=x_2^{2}+x_2x_1^2+x_1^{2}>0.$$ Dado que $x_2-x_1>0,$ ha de ser $f(x_2)-f(x_1)>0$ luego $f(x_1)$ $<$ $f(x_2)$ y por tanto $f$ es estrictamente creciente.
3. Para $x_1,x_2$ en $A$ tenemos las equivalencias $$f\text{ creciente}\Leftrightarrow f(x_1)\le f(x_2)\text{ si } x_1 < x_2 \Leftrightarrow -f(x_1)\ge -f(x_2)\text{ si } x_1 < x_2 $$ $$\Leftrightarrow (-f)(x_1)\ge (-f)(x_2)\text{ si } x_1 < x_2\Leftrightarrow -f\text{ decreciente}.$$
4. Sea $B=\{f(x): a < x < c \}.$ Al ser $f$ creciente, $B$ está acotado por $f(c)$ y por tanto existe $M=\sup B\le f(c).$ Veamos que existe $f(c-)$ y es igual a $M.$ Tenemos que demostrar que para todo $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que $$c-\delta < x < c\Rightarrow \left|f(x)-M\right|<\epsilon.$$ Sea $\epsilon>0.$ Al ser $M=\sup B,$ existe un elemento $f(x_1)$ de $B$ tal que $ M-\epsilon < f(x_1) \le M.$ Dado que $f$ es creciente, para todo $x\in (x_1,c)$ se verifica $ M-\epsilon < f(x) \le M,$ en consecuencia $ \left|f(x)-M\right| < \epsilon.$ Basta entonces elegir $\delta=c-x_1$ en $(1).$ De manera análoga se demuestra que $f(c)\le f(c+)$ y las desigualdades en los extremos.
5. Como $f$ es estrictamente creciente, es inyectiva, lo cual implica que $f:A \to f(A)$ es biyectiva, es decir existe $f^{-1}:f(A)\to A.$ Veamos que $f^{-1}$ es estrictamente creciente. En efecto, para $y_1,y_2\in f(A)$ con $ y_1 < y_2 $, sean $x_1,x_2\in A$ tales que $x_1=f^{-1}(y_1),$ $x_2=f^{-1}(y_2).$ No puede ser que $x_1\ge x_2$ pues ocurriría $y_1=f(x_1)\ge f(x_2)=y_2.$ Ha de ser necesariamente $ x_1 < x_2 $ o equivalentemente $ f^{-1}(y_1) < f^{-1}(y_2),$ lo cual prueba que $f^{-1}$ es estrictamente creciente.
6. Para cada $1\le k\le n-1$ sea $y_k\in (x_k,x_{k+1})$ e $y_0=a.$ Se verifica $f(x_k+)\le f(y_k)$ y $f(y_{k-1})\le f(x_k-),$ lo cual implica que $$f(x_k+)-f(x_k-)\le f(y_k)-f(y_{k-1}).$$ Sumando las desigualdades de la derecha obtenemos $f(y_{n-1})-f(a)\le f(b)-f(a) $ y por tanto, $\sum_{k=1}^{n-1}\left[f(x_k+)-f(x_k-)\right]\le f(b)-f(a).$
7. Supongamos que $f$ es creciente y sea $c\in (a,b).$ Del apartado 4 deducimos que $f$ es discontinua en $c$ si y sólo Si $ f(c+)-f(c-) > 0.$ Para todo $m\ge 1$ entero, sea $A_m$ el conjunto de los puntos de discontinuidad $c$ de $f$ en $(a,b)$ que satisfacen $ f(c+)-f(c-) > 1/m.$ Si los puntos $ x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} $ pertenecen a $A_m,$ por el apartado anterior se verifica $$\frac{n-1}{m}\le f(b)-f(a),$$ lo cual implica que $A_m$ ha de ser necesariamente finito. Pero el conjunto de los puntos de discontinuidad de $f$ en $(a,b)$ es $\bigcup_{m=1}^{\infty}A_m$ y la unión contable de conjuntos finitos es contable. Posiblemente en $a$ o $b$ existen puntos de discontinuidad para $f,$ luego en cualquier caso el conjuntos de los puntos de discontinuidad de $f$ en $[a,b]$ es contable.
   Si $f$ es decreciente, se aplica el mismo razonamiento a la función creciente $-f.$