Funciones de variación acotada

Enunciado
1. Estudiar si las siguientes funciones son de variación acotada $$\begin{aligned}& (a)\quad f:[a,b]\to\mathbb{R},\;f(x)=x.\\
& (b)\quad g:[0,1]\to\mathbb{R},\;g(x)=\begin{cases} x\cos \dfrac{1}{x} & \text{si}& x\ne 0\\0 & \text{si}& x=0.\end{cases}\end{aligned}$$ 2. Demostrar que si $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ es monótona, entonces es de variación acotada.
3. Demostrar que $f:[0,1]\to\mathbb{R},$ $f(x)=\sqrt[3]{x}$ es de variación acotada.
4. Sea $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ continua. Supongamos además que existe $f’$ en $(a,b)$ y está acotada. Demostrar que $f$ es de variación acotada en $[a,b].$
5. Demostrar que la siguiente función es de variación acotada $$f:[0,1]\to\mathbb{R},\quad f(x)=\begin{cases} x^2\cos \dfrac{1}{x} & \text{si}& x\ne 0\\0 & \text{si}& x=0.\end{cases}$$ 6. Sea $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ de variación acotada, es decir $\sum_{k=1}^n\left|\Delta f_k\right|\le M$ para toda partición de $[a,b].$ Demostrar que $f$ está acotada en $[a,b]$ por $\left|f(a)\right|+M.$

Solución
1. Recordamos que si $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ es una función y $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ una partición de $[a,b]$ escribimos $\Delta f_k=f(x_k)-f(x_{k-1})$ para $k=1,2,\ldots,n,$ y se dice que $f$ es de variación acotada en $[a,b]$ sii existe un número positivo $M$ cumpliendo $$\sum_{k=1}^n\left|\Delta f_k\right|\le M\quad \forall P\in\mathcal{P}[a,b].$$ $(a)$ Para toda partición $P=\{a=x_0,x_1,\ldots,x_n=b\}$ de $[a,b]$ tenemos $$\sum_{k=1}^n\left|\Delta f_k\right|=\sum_{k=1}^n\left|f(x_k)-f(x_{k-1})\right|=\sum_{k=1}^n\left|x_k-x_{k-1}\right|=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})=b-a.$$ Entonces, $\sum_{k=1}^n\left|\Delta f_k\right|\le M$ con $M=b-a$ para toda partición de $[a,b]$ luego $f$ es de variación acotada.
$(b)$ Elijamos la partición de $[0,1]:$ $$x_0=0 <\frac{1}{n\pi} < \frac{1}{(n-1)\pi} < \ldots < \frac{1}{\pi} < 1=x_{n+1}.$$ Es decir, $$x_0=1,\quad x_k=\frac{1}{(n-k+1)\pi}\;(k=1,2,\ldots,n),\quad x_{n+1}=1.$$ Entonces $$\sum_{k=1}^{n+1}\left|\Delta g_k\right|=\sum_{k=1}^{n+1}\left|g(x_k)-g(x_{k-1})\right|$$ $$=\left|g(x_1)-g(0)\right|+\sum_{k=2}^{n}\left|g(x_k)-g(x_{k-1})\right|+\left|g(x_{n+1})-g(x_n)\right|$$ $$=\left(\frac{\cos n\pi}{n\pi}-0\right)+\sum_{k=2}^{n}\left|\frac{\cos (n-k+1)\pi}{(n-k+1)\pi}-\frac{\cos (n-k+2)\pi}{(n-k+2)\pi}\right|+\left(\cos 1-\frac{\cos \pi}{\pi}\right)$$ $$=\frac{(-1)^n}{n\pi}+\sum_{k=2}^{n}\left|\frac{(-1)^{n-k+1}}{(n-k+1)\pi}-\frac{(-1)^{n-k+2}}{(n-k+2)\pi}\right|+\cos 1+\frac{1}{\pi}.$$ Dado que $n-k+1$ y $n-k+2$ tienen distinta paridad, $$\sum_{k=1}^{n+1}\left|\Delta g_k\right|=\frac{(-1)^n}{n\pi}+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{(n-k+1)\pi}+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{(n-k+2)\pi}+\cos 1+\frac{1}{\pi}$$ $$=\left(\frac{(-1)^n}{n\pi}+\cos 1+\frac{1}{\pi}\right)+\dfrac{1}{\pi}\left(\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}+\ldots+1\right)$$ $$+\dfrac{1}{\pi}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\ldots+\frac{1}{2}\right)\ge \frac{(-1)^n}{n\pi}+\dfrac{1}{\pi}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots \frac{1}{n}\right).$$ Usando que la serie armónica es divergente y tomando límites cuando $n\to +\infty$ queda $$\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^{n+1}\left|\Delta g_k\right|\ge 0+\dfrac{1}{\pi}\cdot (+\infty)=+\infty$$ lo cual prueba que $g$ no es de variación acotada.

2. Si $f$ es creciente, entonces para toda partición $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ de $[a,b]$ se verifica $f(x_k)-f(x_{k-1})\ge 0$ para $k=1,2,\ldots n$ y por tanto $$\sum_{k=1}^n\left|\Delta f_k\right|=\sum_{k=1}^n\left|f(x_k)-f(x_{k-1})\right|=\sum_{k=1}^n[f(x_k)-f(x_{k-1})]=f(b)-f(a):=M.$$ Análogo razonamiento si $f$ es decreciente.

3. La función $f(x)=\sqrt[3]{x}$ es claramente monótona en $[0,1]$ (creciente en este caso), luego es de variación acotada.

4. Como $f’$ está acotada en $(a,b),$ existe $K\ge 0$ tal que $\left|f’(x)\right|\le K$ para todo $x\in (a,b).$ Sea $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ una partición de $[a,b].$ Por el teorema del valor medio de Lagrange, $$\Delta f_k=f(x_k)-f(x_{k-1})=f’(\xi_k)(x_k-x_{k-1})\text{ con }\xi_k\in (x_{k-1},x_k).$$ En consecuencia $$\sum_{k=1}^n\left|\Delta f_k\right|=\sum_{k=1}^n\left| f’(\xi_k)\right|\Delta x_k\le K\sum_{k=1}^n\Delta_k=K(b-a):=M$$ y por tanto, $f$ es de variación acotada en $[a,b].$

5. La función $f$ es elemental en $(0,1]$ y por tanto continua en $(0,1].$ Por otra parte $$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}x^2\cos \dfrac{1}{x}\underbrace{=}_{\text{acotada por infinitésimo}}0=f(0),$$ luego $f$ es continua en $[0,1].$ En $(0,1)$ tenemos $$f’(x)=2x\cos \frac{1}{x}+x^2\left(-\sin\frac{1}{x}\right)\left(-\frac{1}{x^2}\right)=2x\cos \frac{1}{x}+\sin\frac{1}{x},$$ $$\left|f’(x)\right|\le \left|2x\cos \frac{1}{x}\right|+\left|\sin \frac{1}{x}\right|\le 2\cdot 1+1=3,$$ es decir $f’$ está acotada en $(0,1).$ Como consecuencia del apartado anterior, $f$ es de variación acotada en $[0,1].$

6. Sea $x\in (a,b)$ y consideremos la partición $P=\{a,x,b\}.$ Entonces, $$\left|f(x)-f(a)\right|+\left|f(b)-f(x)\right|\le M.$$ Esto implica que $\left|f(x)-f(a)\right|\le M.$ Ahora bien, $$\left|\left|f(x)\right|-\left|f(a)\right|\right|\le \left|f(x)-f(a)\right|\le M$$ $$\Rightarrow \left|f(x)\right|-\left|f(a)\right|\le M\Rightarrow \left|f(x)\right|\le\left|f(a)\right|+ M.$$ Por otra parte, $\left|f(a)\right|\le\left|f(a)\right|+ M$ trivialmente, y para la partición $P=\{a,b\}$ queda $\left|f(b)-f(a)\right|\le M$ y por tanto $\left|f(b)\right|\le\left|f(a)\right|+ M.$ Es decir, $$\left|f(x)\right|\le\left|f(a)\right|+ M\quad \forall x\in [a,b].$$

Esta entrada fue publicada en Cálculo/Análisis. Guarda el enlace permanente.