Variación total de una función

Enunciado
Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función de variación acotada. Para toda partición $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ de $[a,b]$ denotamos por $\sum (P)$ a la suma $\sum_{k=1}^n\left|\Delta f_k\right|.$ Llamamos variación total de $f$ en $[a,b]$ al número $$V_f(a,b):=\sup\left\{\sum (P):P\in\mathcal{P}[a,b]\right\}.$$ 1. Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función. Demostrar que $f$ es constante $\Leftrightarrow V_f(a,b)=0.$
2. Sean $f,g:[a,b]$ de variación acotada y designamos por $V_f$ y $V_g$ a $V_f(a,b)$ y $V_g(a,b)$ respectivamente. Demostrar que que la suma, diferencia y producto de $f$ y $g$ son de variación acotada y además $$V_{f+g}\le V_f+V_g,\quad V_{f-g}\le V_f+V_g,\quad V_{fg}\le \alpha V_f+\beta V_g,$$ siendo $\alpha=\sup\{\left|g(x)\right|:x\in[a,b]\}$ y $\beta=\sup\{\left|f(x)\right|:x\in[a,b]\}.$
3. Se considera la función $$f:[0,1]\to\mathbb{R},\;f(x)=\begin{cases} x \quad \text{si}& x\in (0,1]\\1 \quad \text{si}& x=0.\end{cases}$$ Demostrar que es de variación acotada en $[a,b]$ y que $1/f$ no lo es.
4. Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ de variación acotada y tal que $$0 < m \le\left|f(x)\right|\quad \forall x\in[a,b].$$ Demostrar que $g=1/f$ es de variación acotada en $[a,b]$ y además, $V_g\le V_{f/m^2.}$
5. Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ de variación acotada y $ a < c < b .$ Demostrar que $f$ es de variación acotada en los intervalos $[a,c]$ y $[c,b],$ y además $$V_f(a,b)=V_f(a,c)+V_f(c,b).$$

Solución
1. $\Rightarrow)$ Si $f(x)=c$ para todo $x\in [a,b].$ Para toda partición $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ de $[a,b]$ se verifica $$\sum (P)=\sum_{k=1}^n\left|\Delta f_k\right|=\sum_{k=1}^n\left|f_k(x)-f(x_{k-1})\right|=\sum_{k=1}^n\left|c-c\right|=0,$$ luego $V_f(a,b)=\sup\left\{0\right\}=0$
$\Leftarrow)$ Si $f$ no es constante, existen dos puntos $x_1,x_2$ con $a\le x_1 < x_2\le b$ tales que $f(x_1)\ne f(x_2).$ Para cualquier partición $P$ de $[a,b]$ que contenga a $x_1$ y $x_2,$ tenemos $\sum (P) \ge \left|f(x_2)-f(x_1)\right| > 0$ y por tanto $V_f(a,b)>0.$

2. Para cada partición $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ de $[a,b]$ tenemos $$\left|\Delta (f+g)_k\right|=\left| (f+g)(x_k)-(f+g)(x_{k-1)}\right|=\left| f(x_k)+g(x_k)-f(x_{k-1)}-g(x_{k-1})\right|$$ $$\le \left| f(x_k)-f(x_{k-1)}\right|+\left| g(x_k)-g(x_{k-1)}\right|=\left|\Delta f_k\right|+\left|\Delta g_k\right|,$$ de lo cual deducimos que $V_{f+g}\le V_f+V_g$ y por tanto $f+g$ es de variación acotada en $[a,b].$ Por otra parte $$\left|\Delta (f-g)_k\right|=\left| (f-g)(x_k)-(f-g)(x_{k-1)}\right|=\left| f(x_k)-g(x_k)-f(x_{k-1)}+g(x_{k-1})\right|$$ $$\le \left| f(x_k)-f(x_{k-1)}\right|+\left| g(x_k)-g(x_{k-1)}\right|=\left|\Delta f_k\right|+\left|\Delta g_k\right|,$$ lo cual implica que $V_{f-g}\le V_f+V_g$ y por tanto $f-g$ es de variación acotada en $[a,b].$ Por último, dado que $f$ y $g$ son de variación acotada, están acotadas y por tanto existen $\alpha$ y $\beta$ y son finitos. Además, si $h=fg$ $$\left|\Delta h_k\right|=\left| (fg)(x_k)-(fg)(x_{k-1)}\right|=\left| f(x_k)g(x_k)-f(x_{k-1)}g(x_{k-1})\right|$$ $$=\left| \left[f(x_k)g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_k)\right]+\left[f(x_{k-1)}g(x_{k})-f(x_{k-1)}g(x_{k-1})\right]\right|$$ $$\le \left|g(x_k)\right|\left|f(x_{k})-f(x_{k-1)}\right|+\left|f(x_{k-1})\right|\left|g(x_{k})-g(x_{k-1)}\right|\le \alpha \left|\Delta f_k\right|+\beta \left|\Delta g_k\right|,$$ luego $V_{fg}\le \alpha V_f+\beta V_g$ y por tanto $fg$ es de variación acotada en $[a,b].$

3. Para toda partición $P=\{x_0=0,x_1,\ldots,x_{n-1},x_n=1\}.$ de $[0,1]$ tenemos, $$\sum_{k=1}^n\left|\Delta f_k\right|=\left|f(x_1)-f(0)\right|+\left|f(x_2)-f(x_1)\right|+\left|f(x_3)-f(x_2)\right|+\cdots$$ $$+\left|f(x_{n-1})-f(x_{n-2})\right|+\left|f(1)-f(x_{n-1})\right|=(1-x_1)+(x_2-x_1)$$ $$+(x_3-x_2)+\cdots+(x_{n-1}-x_{n-2})+(x_n-x_{n-1})=2-2x_1\le2,$$ luego $f$ es de variación acotada en $[0,1].$ Por otra parte, $$\frac{1}{f}:[0,1]\to\mathbb{R},\;\left(\frac{1}{f}\right)(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x} \quad \text{si}& x\in (0,1]\\1 \quad \text{si}& x=0.\end{cases}$$ Dado que $1/x\to +\infty$ cuando $x\to0^+,$ la función $1/f$ no está acotada en $[0,1]$ y por tanto no es de variación acotada.

4. Para toda partición $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ de $[a,b]$ se verifica $$\left|\Delta g_k\right|=\left|g(x_k)-g(x_{k-1})\right|=\left|\frac{1}{f(x_k)}-\frac{1}{f(x_{k-1})}\right|=\left|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right|$$ $$=\left|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right|=\frac{\left|\Delta f_k\right|}{\left|f(x_k)f(x_{k-1})\right|}\le \frac{V_f}{m^2},$$ lo cual prueba el resultado.

5. Veamos primeramente que la función $f$ es de variación acotada en los intervalos $[a,c]$ y $[c,b].$ Sea $P’$ una partición de $[a,c]$ y $P^{\prime\prime}$ una partición de $[c,d].$ Entonces, $$\sum \left(P^{\prime}\right)+\sum \left(P^{\prime\prime}\right)=\sum \left(P^{\prime\prime\prime}\right)\le V_f(a,b)$$ es decir, las sumas $\sum \left(P^{\prime}\right)$ y $\sum \left(P^{\prime\prime}\right)$ están acotadas, luego $f$ es de variación acotada en los intervalos $[a,c]$ y $[c,b].$ Usando la propiedad $\sup \;(A+B)=\sup A+\sup B$ para subconjuntos no vacíos de $\mathbb{R}$ obtenemos la desigualdad $$V_f(a,c)+V_f(c,b)\le V_f(a,b).$$ Basta demostrar la desigualdad en el otro sentido. Sea $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ una partición de $[a,b],$ y sea $P’$ la partición de $[a,b]$ obtenida al añadir a $P$ el punto $c$ (podría ocurrir $P’=P$). Supongamos que $c\in[x_{k-1},x_k].$ Entonces $$\left|f(x_k)-f(x_{k-1})\right|\le \left|f(x_k)-f(c)\right|+\left|f(c)-f(x_{k-1})\right|,$$ con lo cual $\sum (P)\le \sum (P’).$ Los puntos de $P’$ que están en $[a,c]$ determinan una partición $P_1$ de $[a,b]$ y los que están en $[c,d]$ una partición $P_2$ de $[c,d],$ por tanto $$\sum (P)\le \sum (P’)=\sum (P_1)+ \sum (P_2)\le V_f(a,c)+V_f(c,b).$$ Es decir, $V_f(a,c)+V_f(c,b)$ es una cota superior de las sumas $\sum (P),$ con lo cual $$V_f(a,b)\le V_f(a,c)+V_f(c,b).$$

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